专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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一、单选题


1．（2020·浙江衢州二中高三其他模拟）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】


本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.


【详解】


令，


则


，


设向右平移个单位长度后得到的函数为，


则，


因为函数为偶函数，


所以，解得，


因为，所以的最小值为，


故选：D.


【点睛】


本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.


2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若当时， 的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【分析】


根据二倍角和辅助角公式化简可得，根据平移变换原则可得；当时，；利用正弦函数的图象可知若的图象与直线恰有两个公共点可得，解不等式求得结果.


【详解】


由题意得：


由图象平移可知：


当时，


，，，


，又的图象与直线恰有两个公共点


，解得：


本题正确选项：


【点睛】


本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围.


3．（2017·四川高三二模（文））已知函数（）在上单调递减，则的取值范围是（ ）


A． B． C． D．


【答案】C


【解析】


∴在上单调递减，


令，得，


∴函数的一个单减区间为，


可得即， 的取值范围是，故选C.


点睛：本题主要考查了三角函数的性质之单调性，属于基础题，强调基础的重要性；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解，在该题中的关键是将表示为，然后利用两角和的正弦公式展开.


4．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））若，，则（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】


利用正切两角差公式、倍角公式即可求的值.


【详解】


由，又，


∴，而，


∴，


故选：D


【点睛】


本题考查了正切的和差公式、倍角公式，化简求值，属于简单题.


5．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）将函数，的图象向右平移个单位长度，平移后的图象关于点（，0）对称，则函数在上的最小值是（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【分析】


逆用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据三角函数图象变换规则求出平移后的解析式，对称点代入平移后的图象解析式求出即可求得，由余弦函数的图象与性质求出最小值.


【详解】


，


的图象向右平移个单位长度得到，


因为函数y的图象关于点（，0）对称，


所以，则，


，又，所以，，


当时，，，


所以函数在上的最小值是.


故选：A


【点睛】


本题考查两角和的正弦公式、三角函数图象变换规则、余弦函数的图象与性质，属于中档题.


6．（2020·河南高三月考（理））已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【分析】


令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.


【详解】


依题意，函数，令，


解得，


所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，


在 上先增后减.


故选C.


【点睛】


本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.


7．（2019·四川双流中学高三月考（文））在中，，则角A的值为( )


A．B．C．D．


【答案】B


【分析】


根据题设条件和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解.


【详解】


因为，


又由,


所以，整理得，


所以，


又由，所以或.


故选：B.


【点睛】


本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角形内角的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.


8．（2019·江西高三月考（理））已知函数是偶函数，则的值为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


【分析】


由三角函数辅助角公式对函数进行化简,再利用余弦函数偶函数的性质求解的值.


【详解】


由函数,


因为函数为偶函数,则有,又因为,可得.


故选:D.


【点睛】


本题考查了利用辅助角公式对三角函数的化简,考查了利用余弦函数偶函数的性质求参数,属于一般难度的题.


9．（2020·广西南宁三中高二期中（理））已知函数，则下列结论正确的是（ ）


A．的最大值为1B．的最小正周期为


C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称


【答案】C


【分析】


利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．


【详解】


函数=


sin（2x）+1


对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；


对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；


对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；


对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．


故选C．


【点睛】


本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．


10．（2018·福建高三期末（理））若，且，则的值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】


∵，


∴，且


∴


∴


∵


∴


∴


故选D





二、多选题


11．（2020·福建仙游一中高三期中）设函数，则( )


A．是偶函数B．在区间上单调递增


C．最大值为2D．其图象关于点对称


【答案】AD


【分析】


利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.


【详解】


.


选项A：，它是偶函数，正确；


选项B：，所以，因此是单调递减，错误；


选项C：的最大值为，错误；


选项D：函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，


错误.


故选：AD


【点睛】


本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题.








三、解答题


12．（2020·重庆南开中学高三月考）已知函数 ．


（1）求函数的最小正周期；


（2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围．


在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.


①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；


②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．


【答案】（1）；（2）若选①，；若选②，．


【分析】


（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；


（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的，由的值域可得范围；


选②先周期变换后平移变换得对应的，同样由值域得的范围.


【详解】


（1），最小正周期为；


（2）选①时，，


由，得，故，，有解，故．


选②时，


由，得，故，


有解，故．


【点睛】


本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.


13．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知函数.


（1）若，求的值.


（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.


【答案】（1）；（2）.


【分析】


（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；


（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.


【详解】


（1）


由可得：.


.


（2）由余弦定理得：，整理可得：，


，，


又，，，


，则，


，即的取值范围为.


【点睛】


本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.


14．（2020·全国高一课时练习）已知函数.


（Ⅰ）化简；


（Ⅱ）若，求的值.


【答案】（1）；（2）


【分析】


（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值


【详解】


（1），


∴





∴


（2）由，知：，即


又，所以


【点睛】


本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题


15．（2019·浙江高三月考）已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．


（1）求，的值；


（2）若， ，求的值．


【答案】（1），（2）


【分析】


（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；


（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.


【详解】


（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，


又当时，取最大值，可得，即，


即，所以，


因为，所以．


（2）由（1）可得函数，


因为，即，所以，


又，可得，


又由，，


所以．


【点睛】


本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.


16．（2020·陕西高一期末）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.


（1）设函数，试求的伴随向量；


（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；


（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.


【答案】（1）（2）（3）存在，


【分析】


(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.


【详解】


（1）∵


∴


∴的伴随向量


（2）向量的伴随函数为，


，


，





（3）由（1）知：


将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数





再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到





设，∵


∴，


又∵，∴


∴





∴（*）


∵，∴


∴


又∵


∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立


∴在的图像上存在点，使得.


【点睛】


本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.


17．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）在直角坐标系中，已知点，，，其中.


（1）求的最大值；


（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.


【答案】（1）2；（2）存在，


【分析】


（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.


（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.


【详解】


解：（1）由题意：，


；


所以





则


即；


因为，所以；


所以当，即时，


取得最大值；


（2）因为，


，


；


又，所以，，


所以，；


所以若为钝角三角形，则角是钝角，


从而；


由（1）得，


解得；


所以，即；


反之，当时，，


又三点不共线，所以为钝角三角形；


综上，当且仅当时，为钝角三角形.


【点睛】


本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.


18．设函数．


（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；


（2）当时，求函数的最大值．


【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）3


【分析】


（1）利用二倍角公式化简，根据周期公式和正弦函数的单调性得出的周期和单调区间；（2）根据x的范围得出的范围，再利用正弦函数的性质得出的最大值．


【详解】


解：（1，


∴的最小正周期为．


令，解得：，


∴的单调递增区间是：．


（2）当时，，


∴当时，取得最大值1+2=3．


【点睛】


本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．


19．（2016·上海市南洋模范中学高三三模）已知函数.


（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；


（2）在中，，，，若任意实数恒有，求面积的最大值.


【答案】（1），函数是非奇非偶函数;（2）


【分析】


（1）由化简得则周期可求，计算；，可判奇偶性；（2）由题得将平方，得t的二次不等式，利用，得，进而得由求得最大值


【详解】


（1）


所以的最小正周期为


；


，


所以，函数是非奇非偶函数.


（2）由得


因为是的内角，所以0