专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·四川内江�高一期末（理））设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用两角和的正弦公式对化简，利用二倍角公式对化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小
【详解】
解：，
，，
因为在上为增函数，且，
所以，即可，
故选：B
【点睛】
此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题
2．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文）），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由整理得的关系式，再根据角的范围确定正余弦值，得正切即可.
【详解】
由得
即
两边平方得
整理得，即
又， 即，故
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换中的二倍角公式，由范围定值是易错点，属于中档题.
3．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角公式可求出的值.
【详解】
因为设为锐角，则，，
，所以，
所以，故选B．
【点睛】
本题考查同角三角函数以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函数求值时，需要确定角的取值范围，判断出所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题.
4．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知是等比数列，其中是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵等比数列，∴，又∵是关于的方程的两根，∴，，∴，
即或（舍去），又∵锐角，∴.
考点：1.等比数列的性质；2.三角函数的性质.
5．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知向量，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求的坐标，再根据向量模的坐标表示求向量的模.
【详解】
，



.
故选：D
【点睛】
本题考查向量模，重点考查计算能力，属于基础题型.
6．（2020·辽宁锦州�高一期末）定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.
【详解】
解：因为，都是锐角，所以，，
因为，所以，
即， ，所以，，
因为，所有，

故选：B.
【点睛】
信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.
7．（2020·河南林州一中高一月考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，，
，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系式化简即可.
【详解】
∵，则，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
9．（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．
【详解】
由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．
，
，．
∴是对称中心．
故选：A.
【点睛】
本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．
10．（2020·湖南桃江�高二期末）若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．
【详解】
由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．
11．（2020·山东聊城�高一期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（ ）
A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到
B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.
【详解】
为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换，属简单题.
12．（2020·河南林州一中高一月考）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平移后的图像关于轴对称求出，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值.
【详解】
平移得到的图像对应的解析式为，
因为为偶函数，所以，
所以，其中.
因为，所以，
当时，，所以，
当且仅当时，，故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.
13．（2020·渝中�重庆巴蜀中学高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
∵
∴要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
故选B
14．（2020·全国高三其他（文））已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得的解析式，根据和的取值范围，判断出的可能取值.
【详解】
，向右平移得到
.
，，，
故“且”或“且”，
即“且”或“且”，
即“且”或“且”，
其中.
所以或，
令，则的值为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的值域，属于中档题.
15．（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图像平移变换和伸缩变换进行求解即可.
【详解】
解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为
故选：A
【点睛】
此题考查三角函数解析式的求解，结合三角函数图像变换是解此题的关键，属于基础题.
16．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图像（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由在函数图象上，结合的范围求出的值，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】
解：由图可知，∵，
∴，解得：，可得，
将代入得：，
∵，
∴，，
故可将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
17．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知（）.给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，，对于①：利用计算即可判断；对于②：用整体代入法求出的范围，再利用已知条件求出的取值范围即可；对于③：利用图像平移得到，利用得到的范围，即可判断选项；对于④：利用整体代入法先求出的范围，又由已知条件得到，求出的取值范围即可.
【详解】
依题意，，
对于①：由题意得,，故①错；
对于②：由题意得，
在上恰有9个零点，
则，故②正确；
对于③：由题意得的图象向右平移个单位长度后得到的图象，又，
所以，不能得出关于y轴对称，故③错误；
对于④：，
若在上单调递增，则，
即，由于，
故.故④错误.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了的性质以及图像变换问题，涉及到了最值，零点，单调性，对称性.属于中档题.
18．（2020·山东高三其他）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则计算可得；
【详解】
解：，而
，
故只需将函数图像向左平移个单位长度即可得到的图像，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角函数中诱导公式、辅助角公式的应用以及三角函数图像的变换，属于基础题．

二、多选题
19．（2020·辽宁锦州�高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点对称
C．图象关于轴对称
D．在区间上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】
将函数 的图象向左平移个单位长度，
可得 的图象，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．
关于函数，
它的最小正周期为，故正确；
令，求得，可得它的图象关于点，对称，故正确；
由于它是偶函数，故它的图象关于轴对称，故正确；
在区间，上，，单调递增，故单调递减，故错误，
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20．（2020·山东高三其他）函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（ ）

A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】
由图象可知
，，
∴，则.
将点的坐标代入中，整理得，
∴，即.，∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B正确.
令，解得
.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；
由，可得，
∴函数的单调递增区间为.故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题.
21．（2020·山东临沂�高一期末）已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】
由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即，
所以，，
又点在函数的图象上，所以，
所以即，
又，所以，，
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象，
所以，
因为，
所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故A错误，B正确；
当时，，
所以在区间上不单调，故C错误；
若，则、分别为函数的最大值、最小值；
由函数的最小正周期为可得的最小值为，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题.
22．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题首先可以将转化为，然后通过图象变换得出函数，最后通过函数是奇函数即可得出结果.
【详解】
，
所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数，
再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，
故的值可以为、，
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，再向右平移个单位长度得到函数，考查推理能力与计算能力，是中档题.
23．（2020·江苏南京�高三开学考试）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先由已知求出，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即可
【详解】
可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题
24．（2020·山东潍坊�高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）

A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.
【详解】
由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当时，，此时，点，，故D正确，
故选：AD．
【点睛】
本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.

第II卷（非选择题）
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三、解答题
25．（2020·浙江永康�高三其他）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设方程在上恰有5个实数解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，再求其单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，利用换元法，结合三角函数的周期性，即可容易求得参数范围.
【详解】
（1）


.
令，
解得.
故的单调增区间为：
（2），根据（1）中所求，即为，
该方程在上恰有5个实数解，故，
令，则，
即方程有个实数解.
故只需，
解得.
故方程在上恰有5个实数解，则.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及求三角函数的单调区间，涉及换元法的应用，以及三角函数的周期性，属综合中档题.
26．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；
（Ⅱ）解：由，可得，则.
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

27．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知0