第九课时求二次函数的解析式（二）

＆.教学目标：

1、让学生会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的关系式。

2、让学生体验二次函数关系式的应用，提高学生应用数学的意识。

＆.教学重点、难点：

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式。

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决实际问题。

＆.教学过程：

一、创设问题情境

1、回顾：如何根据实际情况用待定系数法求二次函数的解析式？

2、根据题意，解答下列各题：

（1）抛物线经过（，）、（，）、（，）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（2）已知一个二次函数的图象过点（，），它的顶点坐标是（，），求这个二次函数的解析式。

二、探究新知

§.探究实际问题中的二次函数关系式：

问题：如图1，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线）的薄壳屋顶．它的拱宽为，拱高为．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

x

O

y

C

A

B

图 1

解析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

解：如图1，以的垂直平分线为轴，以过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：

（）（1）

因为与轴交于点，所以（），又，所以点的坐标为（，）．

因为点在抛物线上，将它的坐标代入（1），得

所以

因此，函数关系式是

．

注意：

（1）根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线；

（2）在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式。

思考：

（1）能不能以为原点，所在的直线为轴，过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系？

（2）若以为原点，所在的直线为轴，过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗？

（3）请同学们根据这个函数关系式，画出摸板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同？

（4）比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题更简便？为什么？

归纳：解决涉及二次函数的实际问题时，应根据图形灵活地建立直角坐标系，使问题变得更简便。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图2所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，请你建立适当的平面直角坐标系，求出涵洞所在的抛物线的函数关系式。

解析：如图2，以的垂直平分线为轴，以过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系。这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，开口向下，所以可以设它的函数关系式为（）.此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式。

解：如图2，以的垂直平分线为轴，以过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系.设它的函数关系式为（）（1）

图 2

x

O

y

C

A

B

因为，所以（），又

所以点的坐标为（，）．

因为点在抛物线上，将它的坐标代入（1），得

所以

因此，函数关系式是

§.例2、在平面直角坐标系中，的位置如图3所示，已知

，，点的坐标为（，）.

（1）求点的坐标；

（2）求过点、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点关于抛物线的对称轴的对称点为，求的面积。

解析：求点的坐标，转化为求点到两坐标轴的距离，分别过、向坐标轴作出垂线后，结合已知，可估计和所在的直角三角形全等，从而分别作出点、到轴的垂线可证两个三角形全等；由（1）和已知可以得出三个已知点，设出一般式可求出过、、三点的抛物线的解析式；根据抛物线的对称性可求出的横坐标，又纵坐标不变，可得的坐标和之长，再求出边上的高即可求出面积。

解：（1）作轴于点，轴于点，则

B1

l

F

E

x

O

y

D

C

A

B

图 3

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（）

∴，

∴点的坐标的坐标为（，）

（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为，将（，），（，）代入，得：

，解得：，

故所求抛物线的解析式为

（3）抛物线的对称轴的方程是.

∴点关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为（，）

在中，底边，高为

∴

方法小结：当线段两端点的横（或纵）坐标相等时，说明这条线段与（或）轴平行，因此，在平面直角坐标系中求三角形的面积，通常要观察三角形三个顶点坐标的特点，利用或构造在坐标轴上的边为底边或与坐标轴平行的边为底边，不能直接求面积的多边形，可采用和差法解决。

四、巩固练习

教材练习

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、会根据不同的条件，设恰当的二次函数解析式，利用待定系数法建立方程（组）求解。

2、能通过用待定系数法灵活地解决二次函数的相关问题。

六、课外作业

1、教材习题26.2