【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）1.二次根式的概念及性质.学生版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
二次根式的化简和运算 | 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 | 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化） |
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模块一 二次根式的概念及性质
二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式的基本性质：（1）（）双重非负性；（2）（）；（3）．
对二次根式定义的考察
【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、、、、、、（x≥0，y≥0）．
【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．x
【例2】 当x是多少时，在实数范围内有意义？
【例3】 当x是多少时，在实数范围内有意义？
【巩固】使式子有意义的未知数x有（ ）个 ．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【巩固】某工厂要制作一批体积为1的产品包装盒，其高为0．2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
【例4】 解答下列题目
（1） 已知，求的值．
（2）若，求的值．
【巩固】已知a、b为实数，且，求a、b的值．
【巩固】已知实数a与非零实数x满足等式：，求．
对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） （2） （3） （4）
【巩固】计算
（1） （2）
（3） （4）
【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1） （2） （3）
【例7】 先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=；
乙的解答为：原式=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
【巩固】若-3≤x≤2时，试化简．
【巩固】如果，，化简．
模块二 二次根式的乘除运算
二次根式的乘法法则：（，）
【例8】 如果成立，那么x，y必须满足条件 ．
【例9】 化简：（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．
【例10】 如果，那么（ ）．
A． B． C． D． x为任意实数
【巩固】已知三角形一边长为，这条边上的高为，求该三角形的面积．
【例11】 把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）．
A． B． C． D．
【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
（1） （2）
【例12】 先化简，再求值：，其中
【例13】 已知a，b为实数，且，求的值．
【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：
验证：
同理可得：
，……
二次根式的除法法则： （，）
【例14】 计算： （1） （1）
（3） （4）
【巩固】已知求的值．
【例15】 已知，且x为偶数，求的值．
【巩固】 （m>0，n>0）
模块三 最简二次根式：
二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．
（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
【例16】 把下列各式化成最简二次根式：
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______；（4）＝______．
【例17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【巩固】把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2） （3） （4）
【例18】 计算：（1）； （2）； （3）；
分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化．
互为有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．
与互为有理化因式，原理是平方差公式；
分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．
【例19】 的有理化因式是 ；的有理化因式是 ．
的有理化因式是 ．
【例20】 把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3） （4）
【巩固】化简：
【例21】
【例22】 观察规律：，……，求值．
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．
【巩固】计算：_______．
模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．
【例23】 把下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ．
【例24】 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则．
【例25】 化简后，与的被开方数相同的二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
【例26】 若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【巩固】若与最简二次根式是同类二次根式，求a，b的值．
【巩固】已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a，b的值（ ）
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组
【例27】 化简计算：
（1） （2）()
（3）
【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【练习2】已知是二次根式，则x应满足的条件是（ ）．
A． x＞0 B． C． x≥－3 D． x＞－3
【练习3】若有意义，则m＝ ．
【练习4】计算下列各式：
（1） （2） （3） （4）
【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
（1）＝______； （2）______； （3）＝______；（4）＝______．
【练习6】计算 （a>0）
- 通过本堂课你学会了 ．
- 掌握的不太好的部分 ．
- 老师点评：① ．
② ．
③ ．
- 当a______时，有意义；当x______时，有意义．
当x______时，有意义；当x______时，的值为1．
- 若b＜0，化简的结果是______．
- 在，中，与是同类二次根式的是 ．
- 若与最简根式是同类二次根式，则= ．
- 若a，b两数满足b＜0＜a且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是（ ）．
A． B． C． D．
- 等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
- 若，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
- 计算
（1） （2）
（3） （4）
（5）
- 若最简二次根式是同类根式，求的值
- 化简：（ ）
A． B．
C． D．不同于以上三个答案
