2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第1节勾股及实数复习（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第1节勾股及实数复习（含答案），共36页。试卷主要包含了若，则的值为　 　，已知，计算等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．若，则的值为 ．
2．已知：，，求代数式的值．
3．计算
（1） （2）
4．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为
A．3B．4C．5D．6
5．如图，在中，，，点，均在边上，且
（1）若，，则 ．
课中讲解
平方根与算术平方根
例1. 的平方根是
A．B．C．D．
过关检测
1．的算术平方根为
A．9B．C．3D．
例2．已知与是的平方根，则的值是 ．
过关检测
1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
二、二次根式非负性及应用
例3．若，则 ．
过关检测
1．已知，则的值为 ．
2．若，则 ．
例4．已知，则的平方根为 .
过关检测
1．已知，则 ．
例5.已知若，为实数，且，求的值．
过关检测
1．，为实数，且，化简： ．
三、二次根式的运算
例6．计算：
（1） （2）
（3）
过关检测
1．计算：
（1） （2）
（3）
例7.已知，，求的值．
过关检测
1．已知，，求的值．
四、方程与勾股
例8．如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，点的对应点是点，与交于点．若，，则的长是 ．
过关检测
1．如图，沿折痕叠矩形的一边，使点落在边上的点处，若，且的面积为24，求的长．
例9．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为
A．0.5 B．1 C．2 D．3
过关检测
1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为
A． B． C． D．
五、平方关系及证明
例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．
（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）
（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；
（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．
过关检测
1．在等腰中，，
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接
①求证：；
②当，时，求的长；
例11．在中，，.
（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .
（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .
过关检测
1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段、与之间的数量关系；
（3）过点作交于点，若，，求的长．
学习任务
1．的平方根是
A．B．C．D．
2．和是一个数的平方根，则 ．
3．已知、满足，则的平方根为 ．
4．若，则 ．
5．已知，，求的值.
6．计算：
（1） （2）
7．已知．
（1）求；
（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．
8．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 ．
9．（1）如图 1 的正方形中， 点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，． 求证：；
（2）如图 2 ，等腰中，，，点，在边上， 且． 若，，求的长 ．
10．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
第1讲 勾股及实数复习（解析版）
目标层级图
课前检测
1．若，则的值为 0 ．
【解答】解：，
，，
解得，，，
．
故答案为：0．
2．已知：，，求代数式的值．
【解答】解：，
，
．
3．计算
（1）
（2）
【解答】解：（1）
；
（2）
；
4．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，解得，
故选：．
5．如图，在中，，，点，均在边上，且
（1）若，，则 ．
【解答】解：（1）将绕点逆时针旋转，至，则与重合，连接，如图所示：
则，，，，，
，，
，
在△和中，，
△，
，
，，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
；
故答案为：；
课中讲解
平方根与算术平方根
例1. 的平方根是
A．B．C．D．
【解答】解：，2的平方根是，
的平方根是．
故选：．
过关检测
1．的算术平方根为
A．9B．C．3D．
【解答】解：，
的算术平方根为3．
故选：．
例2．已知与是的平方根，则的值是 9或1 ．
【解答】解：与是的平方根，
或，解得：或，
故或，则的值是9或1．
故答案为：9或1．
过关检测
1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 9 ．
【解答】解：由题意得：，
解得：，故，则这个正数为：，
故答案为：9．
二、二次根式非负性及应用
例3．若，则 ．
【解答】解：，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
过关检测
1．已知，则的值为 ．
【解答】解：，
，解得，
．
故答案为：
2．若，则 1 ．
【解答】解：因为，
所以，所以，，．
解得，，．
所以．
故答案为：1．
例4．已知，则的平方根为
【解答】解：，，
则，，，
则，，解得，，则，则的平方根为．
故答案为：．
过关检测
1．已知，则 ．
【解答】解：，
，则，
，
，则，，解得：，，所以，
故答案为：
例5.已知若，为实数，且，求的值．
【解答】解：由题意，，，
又，，，，
过关检测
1．，为实数，且，化简： ．
【解答】解：，，，，，
又，，
．
故答案为．
三、二次根式的运算
例6．计算：
（1）；
（2）．
（3）
【解答】解：（1）；
（2）．
（3）原式．
过关检测
1．计算：
（1）
（2）
（3）计算：
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
例7.已知，，求的值．
【解答】解：，
，
则原式．
过关检测
1．已知，，求的值．
【解答】解：，，
，，
．
四、方程与勾股
例8．如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，点的对应点是点，与交于点．若，，则的长是 5 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
由折叠可得，
，
，
在中，，
即，
解得，
故答案为：5．
过关检测
1．如图，沿折痕叠矩形的一边，使点落在边上的点处，若，且的面积为24，求的长．
【解答】解：，，
．
．
．
设，则．
根据勾股定理，得
即，
．
即．
例9．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为
A．0.5B．1C．2D．3
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
由翻折可知：
，，
，
，
，
又，
在中，根据勾股定理，得
，
即，
解得．
则的长为2．
故选：．
过关检测
1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
是边中点，
，，
将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，
，，
，
，
解得．
故选：．
五、平方关系及证明
例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．
（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）
（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；
（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）结论：．
理由：，，
将绕点逆时针旋转得，连接，如图1中，
，，，，
，
；
又，
而，
，
，
，，
，
，
．
（2）如图2中，，，
将绕点逆时针旋转得，连接，作交的延长线于．
，，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
．
（3）结论：
理由：如图3中，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，，
．
过关检测
1．在等腰中，，
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接
①求证：；
②当，时，求的长；
【解答】解：（1）①如图1中，
，
，，
，，
，
，，，
．
②如图1中，设，则．
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
例11．在中，，.
（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .
（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，证是直角三角形，.
过关检测
1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段、与之间的数量关系；
（3）过点作交于点，若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
在中，，且，
，
，
，
（3）解：连接，设，
，则，
都是等腰直角三角形，，
，
由 （1）、（2）可得，在中，
，
，
解得，
．
学习任务
1．的平方根是
A．B．C．D．
【解答】解：，
的平方根是．
故选：．
2．和是一个数的平方根，则 1 ．
【解答】解：显然，
和是一个数的平方根，
，
解得：，
故答案为：1．
3．已知、满足，则的平方根为 ．
【解答】解：，
，，
，，
，
的平方根为，
故答案为：．
4．若，则 ．
【解答】解：，，
则，，，
，则，，解得：，，所以，
故答案为：
5．已知，，求的值
【解答】解：由题意可知：，
，，，，
当时，原式，
当时，原式．
6．计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
7．已知．
（1）求；
（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【解答】解：（1），，
，，
，
（2）的小数部分为，的小数部分为，
，，
．
8．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 10 ．
【解答】解：易证，
，
设，则，
在中，，
解之得：，
，
．
故答案为：10．
9．（1） 如图 1 的正方形中， 点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，． 求证：；
（2） 如图 2 ，等腰中，，，点，在边上， 且． 若，，求的长 ．
【解答】（1） 证明： 在正方形中，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2） 解： 如图， 过点作，垂足为点，截取，使． 连接、．
，，．
，．
在和中，
，
．
，．
，，．
于是， 由，得．
在和中，
，
．
．
在中， 由勾股定理， 得．
．
，，
，
．
10．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
【解答】解：（1），
理由如下：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由如下：连接，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；