【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）4.勾股定理逆定理.学生版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
勾股定理及其 逆定理 | 已知直角三角形的两边长，会求第三边长 | 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理及逆定理判定三角形是否为直角三角形 |
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1．勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即
。
模块一 勾股定理的逆定理
【例1】 在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
【巩固】下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A、a=3，b=4，c=5 B、a=1，b=，c=
C、a=9，b=12，c=15 D、a= ，b=2，c=
【巩固】已知a、b、c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．
【例2】 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）
①∠1=∠A；②；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CD
A、1 B、2 C、3 D、4
【巩固】如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）
A、10 B、12 C、14 D、16
【例3】 已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A、30 B、60 C、78 D、不能确定
【巩固】如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
【例4】 如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．
（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；
（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．（提示：连接CD）
【巩固】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为（ ）cm2．
【例5】 阅读理解题：
（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．求证：∠BAC=90°．
证明：∵BD=CD，AD=BC，∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．
（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之 和为，求这个三角形的面积．
模块二 勾股定理与特殊三角形
含角的直角三角形
【例6】 如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
【巩固】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A、3 B、6 C、 D、
【例7】 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7
【巩固】在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于
A、 B、 C、 D、
【例8】 如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（ ）
【巩固】如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是（ ）
【例9】 已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
含角的直角三角形
【例10】 解答下列各题：(1)等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；
（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．
【例11】 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=求BE的长．
【例12】 已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．
【巩固】如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．
（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）
1. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
3. 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．
4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．
