2021年中考数学专题复习 专题51 勾股定理的多种证明方法（教师版含解析）

专题51 勾股定理的多种证明方法

勾股定理具体内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

历史上证明勾股定理有很多方法，每种方法都含有科学思维、科学探究的过程，每一种证明方法都利用数学观念，数学知识。每一种方法都体现一名数学家为科学付出的情怀。在证明勾股定理的长河中，参与的人有的是学者，有的是著名的科学家，还有的是政治家，比如总统。通过学习勾股定理的证明，可以品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。

勾股定理是对社会有重大影响的10大科学发现之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。

数学故事：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德(Garfield)．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

【例题1】如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

【答案】见解析。

【解析】用四个相同的直角三角形(直角边为a、b，斜边为c)按下图拼法。

根据正方形面积公式得大正方形面积为：

S=(a+b)2………

这个大正方形的面积等于4个小直角三角形面积之和再加上内部的小正方形的面积，即：

S= 4×ab+ c2……..

由得

(a+b)2= c2 + 4×ab

化简可得：a2+b2 = c2

从而结论得到证明。

【例题2】用1876年美国第十七任总统加菲尔德Garfield的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于c2

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于S=(a+b)2……

又因为这个直角梯形的面积等于三个小三角形面积之和，即S= 2×ab+c2……

由得

(a+b)2= 2×ab+c2

化简：.

从而结论得到证明。

1.用初中教材出现的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

左边图形面积S=a2+b2 + 4×ab

右边图形面积S= c2 + 4×ab

a2+b2 + 4×ab= c2 + 4×ab

整理得：

从而结论得到证明。

2.利用邹元治的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)2。

又因为大正方形的面积等于4个小三角形面积之和再加上小正方形面积，所以

∴ .

从而结论得到证明。

3.利用赵爽的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】以a、b 为直角边(b>a)， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF=FG =GH=HE=b-a ,

∠HEF=90º.

∴ EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于(b-a)2。

.

∴ .

从而结论得到证明。

4.利用梅文鼎的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB=BE=EG=GA=c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即   ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

∴

从而结论得到证明。

5.利用项明达的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；

再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

这时我们容易知道矩形BCPM是边长为a的正方形，矩形EFNP是边长为b的正方形，

设多边形FNMBA的面积为S，则

∴

从而结论得到证明。

6.利用欧几里得的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于a2

ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 . 

从而结论得到证明。

7.利用辛卜松的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.

作边长是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

 ；

把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

=.

∴  ,

∴  .

从而结论得到证明。

8.利用相似三角形性质证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴  ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即  .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有

.

即 .

从而结论得到证明。

9.利用杨作玫方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a. 

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形. 

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +(b―a).

用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为

                   ①

= ，

，

= .     ②

把②代入①，得

= = .

∴  .

从而结论得到证明。

10.利用陈杰方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a)，斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图).

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即

.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即

.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.

∵ ，，，

又∵ ，，，

=

=，

即 .

从而结论得到证明。

11.利用切割线定理证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，

以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=

=

= ，

即，

∴ .

从而结论得到证明。

12.利用托勒密定理证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c(如图).

过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴，即 ，

∴.

从而结论得到证明。

13.利用作直角三角形的内切圆方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F(如图)，设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴

= = r + r = 2r,

即 ，

∴ .

∴ ，

即 ，

，

 ，

又∵

= =

=

 = ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，    

∴ .

从而结论得到证明。

14.利用反证法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设，即假设 ，则由

==

可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.

∴ .

从而结论得到证明。

15.利用射影定理证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

根据射影定理，得

AC2＝AD·AB，     

BC2＝BD·BA

即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB(AD＋BD)＝AB2    

从而得a2+b2 = c2

从而结论得到证明。