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2021年中考数学专题复习 专题41 概率问题（教师版含解析）
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这是一份2021年中考数学专题复习 专题41 概率问题（教师版含解析），共31页。教案主要包含了确定事件和随机事件，概率，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题41 概率问题
一、确定事件和随机事件
1．确定事件
(1)必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
(2)不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
(1)有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；
(2)有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；
(3)有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件
二、概率
1.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
即 . 概率
2．确定事件概率
(1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1
(2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
3．古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
4．古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=
5．列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
6．列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
7．树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
8．运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
9．利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
【例题1】(2020•徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【解析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
设袋子中红球有x个，
根据题意，得：x20=0.25，
解得x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，
∴袋子中红球的个数最有可能是5个.
【对点练习】(2019•湖北武汉)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【答案】B
【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
A.3个球都是黑球是随机事件；
B.3个球都是白球是不可能事件；
C.三个球中有黑球是必然事件；
D.3个球中有白球是随机事件。
【例题2】(2020•德州)如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是 ．
【答案】16．
【解析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．
如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，
故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：212=16．
【对点练习】(2019•四川省达州市)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】2/3
【解析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P(灯泡发光)＝．
【对点练习】(2019黑龙江哈尔滨)同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．
【答案】
【解析】列表得：
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
(6，6)
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
(6，5)
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
(6，4)
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
(6，3)
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
(6，2)
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
(5，1)
(6，1)
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为＝
【例题3】(2020浙江杭州)一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
根据题意画图如下：
共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝．
【对点练习】(2019•湖北省荆门市)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是。
【例题4】(2020贵州黔西南)新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是________名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
(3)该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
(4)某班有4名优秀的同学(分别记为E，F，G，H，其中E为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】(1)40；(2)54°，见解析；(3)75；(4)树状图见解析，
【解析】(1)条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
(2)计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
(3)用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
(4)根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】(1)∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40(名)；
(2)∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14(人)，据此补条形图；
(3)该校八年级学生中成绩为优秀的有：
(4)画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝
【点拨】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
【对点练习】(2019•广东广州)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
2
B组
1≤t＜2
m
C组
2≤t＜3
10
D组
3≤t＜4
12
E组
4≤t＜5
7
F组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求频数分布表中m的值；
(2)求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
(3)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．
【答案】见解析。
【解析】(1)用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值.
m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；
(2)分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图.
B组的圆心角＝360°×＝45°，
C组的圆心角＝360°或＝90°．
补全扇形统计图如图1所示：
(3)画出树状图，即可得出结果．
画树状图如图2：
共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为＝．
一、选择题
1.(2020浙江绍兴)如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则
小球从E出口落出的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：
2.(2020浙江宁波)一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键．
3．(2020•泰州)如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【解析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
A.只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B.只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C.只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D.闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意.
4．(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【解析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
5．(2020•牡丹江)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( )
A．14 B．23 C．13 D．316
【答案】C
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P(和为5)=412=13．
6．(2020•湘西州)从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为( )
A．14 B．13 C．12 D．34
【答案】A
【解析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．
从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果(不分先后)：
1cm、 3cm 、5cm，
1cm、 3cm 、6cm，
3cm、 5cm 、6cm，
1cm 、5cm 、6cm，
其中，能构成三角形的只有1种，
∴P(构成三角形)=14．
7．(2020•攀枝花)下列事件中，为必然事件的是( )
A．明天要下雨
B．|a|≥0
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【答案】B
【解析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
根据题意，结合必然事件的定义可得：
A.明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项不合题意；
B.一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项符合题意；
C.﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不合题意；
D.打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项不合题意.
8．(2020•武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【解析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意.
9．(2020•枣庄)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是( )
A．49 B．29 C．23 D．13
【答案】A
【解析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P(两次都是白球)=49，
10．(2020•齐齐哈尔)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( )
A．12 B．13 C．14 D．23
【答案】A
【解析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是36=12，
11.(2019广西北部湾) “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】画树状图为：(用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆)
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率==．
二、填空题
12．(2020•盐城)一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为 ．
【答案】25．
【解析】直接利用概率公式进而计算得出答案．
∵一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：25．
13．(2020•扬州)大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
【答案】2.4
【解析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则S4=0.6，
解得S＝2.4(cm2)．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
14．(2020•苏州)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】38．
【解析】若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是616=38
15.(2020浙江嘉兴)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【答案】．
【解析】直接利用概率公式求解．
蚂蚁获得食物的概率P＝．
16.(2019湖南岳阳)分别写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，
从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
【答案】．
【解析】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是
无理数，
∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．
17.(2019湖南邵阳)不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______．
【答案】．
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果，
所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为＝，
故答案为：．
18．(2019湖南娄底)五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ．
【答案】．
【解析】解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，
∴该卡片上的数字是负数的概率是． 故答案为：．
19.(2019广东深圳)现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是____________．
【答案】
【解析】从中随机抽取一张，共8种等可能的结果，其中抽到标有2的卡片的结果数为3，
故抽到标有数字2的卡片的概率为．
20.(2019广西省贵港市)若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是 ．
【答案】．
【解析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可．
随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，
所以点数不小于3的概率为
三、解答题
21．(2020•苏州)在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【答案】见解析。
【解析】用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P(点A在坐标轴上)=59．
22．(2020•无锡)现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
(2)若先从中任意抽取1张(不放回)，再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
【答案】见解析。
【解析】(1)从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率=14；
故答案为14；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．
23．(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14；
故答案为：14；
(2)画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．
24．(2020•荆门)如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
(1)求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
(2)补全条形统计图；
(3)按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这(x+y+2)件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为35，求x，y的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)60÷30%＝200(件)，
20200×100%＝10%，
1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．
故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；
(2)S号服装销量：200×25%＝50(件)，
L号服装销量：200×20%＝40(件)，
XL号服装销量：200×15%＝30(件)，
条形统计图补充如下：
(3)由题意，得x=2yxx+y+2=35，
解得x=12y=6．
故所求x，y的值分别为12，6．
25．(2020•孝感)有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
(1)随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
(2)随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为24=12，
故答案为：12；
（2） 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P(差的绝对值大于3)=616=38．
26．(2020•辽阳)为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A(0≤x＜2)，B(2≤x＜4)，C (4≤x＜6)，D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；
(2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
(3)请补全条形统计图；
(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)本次共调查学生1326%=50(名)，
故答案为：50；
(2)扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×1550=108°，
故答案为：108；
(3)C等级人数为50﹣(4+13+15)＝18(名)，
补全图形如下：
(4)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率212=16．
27．(2020•随州)根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x(岁)
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
(1)统计表中m的值为 ；
(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
(3)在这50人中女性有 人；
(4)若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
所以统计表中m的值为10；
故答案为：10；
(2)因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，
所对应扇形的圆心角的度数为：360°×2550=180°；
故答案为：180°；
(3)因为4×50%+10×(1﹣60%)+25×(1﹣60%)+8×(1﹣75%)＝18
所以在这50人中女性有18人；
故答案为：18；
(4)因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
所以恰好抽到2名男性的概率为：212=16．
28．(2020•怀化)为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50(名)，
扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为1050×360°=72°；
故答案为：50，72；
(2)B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12(人)，
补全条形统计图如图所示：
(3)850×600=96名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
(4)列表如下：
A
B
C
D
A
(A，A)
(B，A)
(C，A)
(D，A)
B
(A，B)
(B，B)
(C，B)
(D，B)
C
(A，C)
(B，C)
(C，C)
(D，C)
D
(A，D)
(B，D)
(C，D)
(D，D)
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率=416=14．
29．(2020•青岛)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
∴P(小颖)=36=12，
P(小亮)=36=12，
因此游戏是公平．
30．(2020•湘潭)生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生)
(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；
(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为24=12．
31．(2020•内江)我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
(1)成绩为“B等级”的学生人数有 名；
(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】见解析。
【分析】(1)A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；
(2)D等级占调查人数的420，因此相应的圆心角为360°的420即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；
(3)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解析】(1)3÷15%＝20(名)，20﹣3﹣8﹣4＝5(名)，
故答案为：5；
(2)360°×420=72°，8÷20＝40%，即m＝40，
故答案为：72°，40；
(3)“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，
∴P(女生被选中)=46=23．
专题41 概率问题
一、确定事件和随机事件
1．确定事件
(1)必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
(2)不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
(1)有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；
(2)有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；
(3)有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件
二、概率
1.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
即 . 概率
2．确定事件概率
(1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1
(2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
3．古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
4．古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=
5．列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
6．列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
7．树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
8．运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
9．利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
【例题1】(2020•徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【解析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
设袋子中红球有x个，
根据题意，得：x20=0.25，
解得x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，
∴袋子中红球的个数最有可能是5个.
【对点练习】(2019•湖北武汉)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【答案】B
【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
A.3个球都是黑球是随机事件；
B.3个球都是白球是不可能事件；
C.三个球中有黑球是必然事件；
D.3个球中有白球是随机事件。
【例题2】(2020•德州)如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是 ．
【答案】16．
【解析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．
如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，
故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：212=16．
【对点练习】(2019•四川省达州市)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】2/3
【解析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P(灯泡发光)＝．
【对点练习】(2019黑龙江哈尔滨)同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．
【答案】
【解析】列表得：
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
(6，6)
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
(6，5)
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
(6，4)
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
(6，3)
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
(6，2)
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
(5，1)
(6，1)
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为＝
【例题3】(2020浙江杭州)一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
根据题意画图如下：
共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝．
【对点练习】(2019•湖北省荆门市)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是。
【例题4】(2020贵州黔西南)新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是________名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
(3)该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
(4)某班有4名优秀的同学(分别记为E，F，G，H，其中E为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】(1)40；(2)54°，见解析；(3)75；(4)树状图见解析，
【解析】(1)条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
(2)计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
(3)用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
(4)根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】(1)∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40(名)；
(2)∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14(人)，据此补条形图；
(3)该校八年级学生中成绩为优秀的有：
(4)画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝
【点拨】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
【对点练习】(2019•广东广州)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
2
B组
1≤t＜2
m
C组
2≤t＜3
10
D组
3≤t＜4
12
E组
4≤t＜5
7
F组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求频数分布表中m的值；
(2)求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
(3)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．
【答案】见解析。
【解析】(1)用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值.
m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；
(2)分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图.
B组的圆心角＝360°×＝45°，
C组的圆心角＝360°或＝90°．
补全扇形统计图如图1所示：
(3)画出树状图，即可得出结果．
画树状图如图2：
共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为＝．
一、选择题
1.(2020浙江绍兴)如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则
小球从E出口落出的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：
2.(2020浙江宁波)一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键．
3．(2020•泰州)如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【解析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
A.只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B.只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C.只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D.闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意.
4．(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【解析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
5．(2020•牡丹江)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( )
A．14 B．23 C．13 D．316
【答案】C
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P(和为5)=412=13．
6．(2020•湘西州)从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为( )
A．14 B．13 C．12 D．34
【答案】A
【解析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．
从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果(不分先后)：
1cm、 3cm 、5cm，
1cm、 3cm 、6cm，
3cm、 5cm 、6cm，
1cm 、5cm 、6cm，
其中，能构成三角形的只有1种，
∴P(构成三角形)=14．
7．(2020•攀枝花)下列事件中，为必然事件的是( )
A．明天要下雨
B．|a|≥0
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【答案】B
【解析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
根据题意，结合必然事件的定义可得：
A.明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项不合题意；
B.一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项符合题意；
C.﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不合题意；
D.打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项不合题意.
8．(2020•武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【解析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意.
9．(2020•枣庄)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是( )
A．49 B．29 C．23 D．13
【答案】A
【解析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P(两次都是白球)=49，
10．(2020•齐齐哈尔)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( )
A．12 B．13 C．14 D．23
【答案】A
【解析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是36=12，
11.(2019广西北部湾) “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】画树状图为：(用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆)
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率==．
二、填空题
12．(2020•盐城)一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为 ．
【答案】25．
【解析】直接利用概率公式进而计算得出答案．
∵一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：25．
13．(2020•扬州)大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
【答案】2.4
【解析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则S4=0.6，
解得S＝2.4(cm2)．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
14．(2020•苏州)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】38．
【解析】若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是616=38
15.(2020浙江嘉兴)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【答案】．
【解析】直接利用概率公式求解．
蚂蚁获得食物的概率P＝．
16.(2019湖南岳阳)分别写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，
从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
【答案】．
【解析】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是
无理数，
∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．
17.(2019湖南邵阳)不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______．
【答案】．
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果，
所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为＝，
故答案为：．
18．(2019湖南娄底)五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ．
【答案】．
【解析】解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，
∴该卡片上的数字是负数的概率是． 故答案为：．
19.(2019广东深圳)现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是____________．
【答案】
【解析】从中随机抽取一张，共8种等可能的结果，其中抽到标有2的卡片的结果数为3，
故抽到标有数字2的卡片的概率为．
20.(2019广西省贵港市)若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是 ．
【答案】．
【解析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可．
随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，
所以点数不小于3的概率为
三、解答题
21．(2020•苏州)在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【答案】见解析。
【解析】用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P(点A在坐标轴上)=59．
22．(2020•无锡)现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
(2)若先从中任意抽取1张(不放回)，再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
【答案】见解析。
【解析】(1)从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率=14；
故答案为14；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．
23．(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14；
故答案为：14；
(2)画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．
24．(2020•荆门)如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
(1)求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
(2)补全条形统计图；
(3)按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这(x+y+2)件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为35，求x，y的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)60÷30%＝200(件)，
20200×100%＝10%，
1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．
故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；
(2)S号服装销量：200×25%＝50(件)，
L号服装销量：200×20%＝40(件)，
XL号服装销量：200×15%＝30(件)，
条形统计图补充如下：
(3)由题意，得x=2yxx+y+2=35，
解得x=12y=6．
故所求x，y的值分别为12，6．
25．(2020•孝感)有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
(1)随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
(2)随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为24=12，
故答案为：12；
（2） 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P(差的绝对值大于3)=616=38．
26．(2020•辽阳)为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A(0≤x＜2)，B(2≤x＜4)，C (4≤x＜6)，D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；
(2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
(3)请补全条形统计图；
(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)本次共调查学生1326%=50(名)，
故答案为：50；
(2)扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×1550=108°，
故答案为：108；
(3)C等级人数为50﹣(4+13+15)＝18(名)，
补全图形如下：
(4)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率212=16．
27．(2020•随州)根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x(岁)
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
(1)统计表中m的值为 ；
(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
(3)在这50人中女性有 人；
(4)若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
所以统计表中m的值为10；
故答案为：10；
(2)因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，
所对应扇形的圆心角的度数为：360°×2550=180°；
故答案为：180°；
(3)因为4×50%+10×(1﹣60%)+25×(1﹣60%)+8×(1﹣75%)＝18
所以在这50人中女性有18人；
故答案为：18；
(4)因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
所以恰好抽到2名男性的概率为：212=16．
28．(2020•怀化)为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50(名)，
扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为1050×360°=72°；
故答案为：50，72；
(2)B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12(人)，
补全条形统计图如图所示：
(3)850×600=96名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
(4)列表如下：
A
B
C
D
A
(A，A)
(B，A)
(C，A)
(D，A)
B
(A，B)
(B，B)
(C，B)
(D，B)
C
(A，C)
(B，C)
(C，C)
(D，C)
D
(A，D)
(B，D)
(C，D)
(D，D)
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率=416=14．
29．(2020•青岛)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
∴P(小颖)=36=12，
P(小亮)=36=12，
因此游戏是公平．
30．(2020•湘潭)生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生)
(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】见解析。
【解析】(1)可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；
(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为24=12．
31．(2020•内江)我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
(1)成绩为“B等级”的学生人数有 名；
(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】见解析。
【分析】(1)A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；
(2)D等级占调查人数的420，因此相应的圆心角为360°的420即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；
(3)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解析】(1)3÷15%＝20(名)，20﹣3﹣8﹣4＝5(名)，
故答案为：5；
(2)360°×420=72°，8÷20＝40%，即m＝40，
故答案为：72°，40；
(3)“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，
∴P(女生被选中)=46=23．
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