高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积精品同步达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积精品同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( )


A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3


B [长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60 cm3.]


2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是( )


A．eq \f(C2,4π) B．eq \f(C2,2π)


C．eq \f(C2,π)D．2πC2


C [过球心的圆面圆的半径长就是球的半径长，设半径为r，则2πr＝C，r＝eq \f(C,2π)，球的表面积为4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,2π)))eq \s\up12(2)＝eq \f(C2,π).]


3．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ADC的体积是( )





A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)


C．eq \f(1,2)D．1


A [三棱锥D1­ADC的体积V＝eq \f(1,3)S△ADC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).]


4．已知三棱锥P­ABC中，PA＝eq \r(23)，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )


A．16 B．28 C．64 D．96


C [已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线．


∵PA＝eq \r(23)，AB＝3，AC＝4，


∴三棱锥外接球的直径为eq \r(23＋9＋16)＝4eq \r(3)，


∴外接球的内接正方体的体对角线长为4eq \r(3)，


∴正方体的棱长为4，∴正方体的体积为64，故选C．]


5．长方体的体对角线长为5eq \r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )


A．20eq \r(2)πB．25eq \r(2)π


C．50πD．200π


C [∵对角线长为5eq \r(2)，∴2R＝5eq \r(2)，


S＝4πR2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),2)))eq \s\up12(2)＝50π.]


二、填空题


6．将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm，则这个铜球的半径为________cm.


12 [设铜球的半径为R cm，则有eq \f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12.]


7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．


12 [设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.


由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，


∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.]


8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．


eq \r(7) [设新的底面半径为r，由题意得


eq \f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq \f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，


∴r2＝7，∴r＝eq \r(7).]


三、解答题


9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，如果AB＝AC＝eq \r(13)，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，求多面体BB1C1CEF的体积．





[解] 在△ABC中，BC边上的高h＝eq \r(\r(13)2－32)＝2，


V柱＝eq \f(1,2)BC·h·BB1＝eq \f(1,2)×6×2×6＝36，


∴VE­ABC＋Veq \s\d6(F­A1B1C1)＝eq \f(1,6)V柱＝6，故Veq \s\d6(BB1C1CEF)＝36－6＝30.


10．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.





[解] 在三棱锥A1­ABD中，AA1⊥平面ABD，


AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a，


∵Veq \s\d6(A1­ABD)＝Veq \s\d6(A­A1BD)，∴eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a×d.


∴d＝eq \f(\r(3),3)a.





1．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为( )


A．1 B．eq \f(3,2) C．3 D．eq \f(\r(3),2)


A [在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \r(3)，Seq \s\d6(△DB1C1)＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).


又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，


∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．


∴Veq \s\d6(三棱锥A­B1DC1)＝eq \f(1,3)Seq \s\d6(△DB1C1)·AD＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.]


2．已知四棱锥的底面是边长为eq \r(2)的正方形，侧棱长均为eq \r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．


eq \f(π,4) [由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为eq \f(1,2)，易知四棱锥的高为eq \r(5－1)＝2，故圆柱的高为1，所以该圆柱的体积为π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(π,4).]


3．(一题两空)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________．





eq \f(3,2) eq \f(3,2) [由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，


圆柱的高h＝2R，则V球＝eq \f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.


∴eq \f(V柱,V球)＝eq \f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，∴eq \f(S柱,S球)＝eq \f(6πR2,4πR2)＝eq \f(3,2).]


4．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．


4πRr [法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req \\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq \r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πreq \\al(2,1)＝4πRr.





法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req \\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq \r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.]


5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．





(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；


(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．


[解] (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．





(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.


因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.


于是MH＝eq \r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.


故Seq \s\d6(四边形A1EHA)＝eq \f(1,2)×(4＋10)×8＝56，


Seq \s\d6(四边形EB1BH)＝eq \f(1,2)×(12＋6)×8＝72.


因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，


所以其体积的比值为eq \f(9,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)也正确)).