第49讲 直线与圆的位置关系-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第49讲 直线与圆的位置关系
一、 课程标准
1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
二、 基础知识回顾
1、 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ0
Δ0
Δ0
几何观点
dr
dr
dr
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.


三、 自主热身、归纳总结
1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为( )
A. 在圆内 B. 在圆上
C. 在圆外 D. 位置不确定
【答案】C
【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1，即点P(a，b)在圆外．故选C.
2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
【答案】C
【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数为2个．故选C.
3、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A. [－3，－1] B. [－1，3]
C. [－3，1] D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C.

4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2或4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，符合题意，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
5、直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．
【答案】
【解析】 由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得AB2＝4×＝10，即AB＝.
6、(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】BD　
【解析】因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±，故选B、D.
7、(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．10
【答案】AD　
【解析】圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72的圆心C的坐标为(3,3)，半径r＝6，
因为直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，
所以圆心到直线的距离为2，
则有d＝＝2，
解得m＝2或10，故选A、D.
8、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.
【答案】－或－
【解析】设CA，CB的夹角为θ，圆的半径为r.所以S△ABC＝r2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝.易知圆心C到直线l的距离为2，所以＝2，解得m＝－或－.　


四、 例题选讲
考点一、直线与圆的位置关系
例1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)
A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离
【答案】(1)A　(2)C
【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线l的距离d＝3，(*)∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(方法2)求圆心到直线的距离d＝＜2解得k＞或k＜－.
(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为1∶3的两段弧，则劣弧MN所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r＝2.在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin45°＝，故圆心C(0，4)到直线kx－y＝0的距离＝，∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，故l的方程为y＝±x.
方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考点二 圆的弦长问题

例2、已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为3，求实数a的值．
【解析】 因为圆心到直线ax－y＋2－a＝0的距离为，所以＋＝9，
解得a＝1或a＝7.

变式1、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1－＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．
（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．
【答案】（1） 2 （2）2 （3）1或7
【解析】（1） 圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r＝3，点C到直线x－y＋1－＝0的距离d＝，所求弦长为l＝2＝2.

【解析】（2） 由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2)．又因为点M(1，2)在圆C的内部，当MC与l垂直时，弦长最短，所以kMC·kl＝－1，所以×a＝－1，解得a＝2 .
（3）由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°，则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为r，即＝，解得a＝1或a＝7.

变式2、（1）　过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为2，则直线l的方程为 _
（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.
【答案】（1） x＝1或3x－4y＋5＝0（2）±
【解析】 （1）当直线l的斜率不存在时，x＝1，符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，所以圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为，由＋＝9，解得k＝，即直线l的方程为3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
（2）记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
方法总结：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
考点三 圆的切线问题
例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程．
【解析】 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1.
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
变式1、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】 (1) 由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
所以切线的斜率k＝－＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝2，解得k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝＝ ，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
变式2、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【解析】(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.

方法总结：求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．


五、优化提升与真题演练
1、【2020年天津卷】知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
2、【2020年浙江卷】.设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
4、【2020年全国3卷】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
5、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.
因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，
即，解得或，故选D.
6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由，消去参数得，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，
，
∴的最大值为．
故选：C.

7、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解析】 (1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，
可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．