备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点05 数列 学案

易错点05  数列易错点1：知Sn求an已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点2：等比数列中的公比问题在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.易错点3：错位相减前n项和中的项数问题利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．易错点4：裂项相消求前n项和的剩余项问题这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：．            01  求通项公式 已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 例1已知数列的前项和为＝n2＋n＋1，求的通项公式．【警示】此类题型，考生会因为忽略考虑的情况而导致错误。【解析】当n＝1时，a1＝S1＝＋＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝n.当n＝1时不符合上式，所以．【叮嘱】成立的条件是，当要单独验证． 1．已知数列的前项和，求通项. 【解析】当时，==    而不适合上式，         2．数列满足，则 __________.    【解析】∵①②①-②得，            02  等比数列中的公比问题在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.例2．求数列的前n项和．【警示】此题会因为忽略考虑的情况，而错解得.【解析】当时，；当时，由于，[来源:学科网][来源:学,科,网]   两式相减得=.所以【叮嘱】在等比数列求和公式中，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论。  1．（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，．记为的前项和．若，=________．【解析】设的公比，由，当时，所以当时，所以故答案为m=62．（2019全国1理14）记为等比数列的前项和．若，，则　　．【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得，所以             03  错位相减前n项和中的项数问题利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．例3．（2020•全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【警示】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设前项和为，，，①，②①②得，，. 1.（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程 的根．(Ⅰ)求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得设数列的公差为d，则故从而所以的通项公式为．（Ⅱ）设的前n项和为由（I）知则两式相减得所以．2.(2020•全国3卷）设数列{an}满足a1＝3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.             04   裂项相消求前n项和的剩余项问题这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：．例4.（2017.新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则          ．【警示】在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽。【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，∴，所以，所以．   1.（2015新课标Ⅰ）已知,设，数列的前n项和=______.【解析】由，，所以数列{}前n项和为==. 2.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）设的公差为，则=．由已知可得（2）由（1）知从而数列.  1．（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________.【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得设数列的公差为d，则故从而所以的通项公式为．2.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．则=_________.【解析】设的公差为，则=．由已知可得3.（2011新课标）等比数列的各项均为正数，且则=_________.【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得，所以4．（2013新课标2）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．则=_________.【解析】设的公差为，由题意，即于是所以（舍去），故5.数列的前项和为，则_________________. 【解析】当时， 而不适合上式，∴6.数列满足，则 __________.    【解析】∵①②①-②得，7.若数列的前项和为，则=__________.【解析】当n=1时，当n≥2时，，故数列从第二项开始是以-2为首项，-2为公比的等比数列，故当n≥2时，，经验证当n=1时，上式也满足，所以8.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和，若，则=________.【解析】当时，，因为，所以=3，当时，，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；9..(2014新课标1)已知数列的前n项和，，其中，则=__________.【解析】由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．10．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．【解析】法1： 因为，所以当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．所以．法2：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．