2020-2021学年 人教版七年级数学上册期末复习冲刺 专题04 《几何图形初步》 (教师版）

专题04 几何图形初步
1．几何图形的分类

在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
3.直线，射线与线段的区别与联系

4. 基本性质
（1）直线的性质:两点确定一条直线；
（2）线段的性质:两点之间，线段最短．
5.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a，如下图：

6．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD.

（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

7．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
（2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
（4）角的分类
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°



（5）画一个角等于已知角
（i）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（ii）借助量角器能画出给定度数的角.
（iii）用尺规作图法.
8．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

9．角的互余互补关系
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
10．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

考点一、几何体的展开图
例1（2020年长春）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．
由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱，
故选：A．
【名师点睛】此题主要考查了几何体展开图，熟练掌握几何体的侧面展开图是解题的关键，解题时牢记几何体展开图的各种情形．
考点一、线段的性质
例1（2020吉林一模）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好的观赏风光，如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是

A .两点之间，线段最短 B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短 D.两点确定一条直线
【答案】A
【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，选择A
【名师点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
考点二、直线的性质
例2（2020黔南州模拟）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根 木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是

A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】B
【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉 一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故选：B．
【名师点睛】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质联系实际生活是解题 关键．
考点三、线段有关的计算
例3（2020凉山州）点Ｃ是线段ＡB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm，则线段BD的长为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 10cm或8cm D. 2cm或4cm
【答案】C
【解析】∵Ｃ是线段ＡB的中点，AB=12cm，
∴AC=BC=AB=×12=6（cm），
点D是线段AC的三等分点.
①当AD=AC时，如图，

BD=BC+CD/=BC+AC=6+4=10（cm）.
所以线段BD的长为10cm或8cm.
【名师点睛】此题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
考点四、度分秒的计算
例4（2020通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC=53°17′28″，则∠BOC的度数是_______.

【答案】126°42′32″.
【解析】∵点O在直线AB上，且AOC=53°17′28″，
∴∠BOC=180°－∠AOC=180°－53°17′28″=126°42′32″.
故答案为：126°42′32″.
【名师点睛】此题主要考查了度分秒的转化，正确掌握度分秒之间的关系是解题的关键．
考点五、方位角
例5（2020昆明）如图，点C位于点A正北方向，点B位于A北偏东50°方向，则∠ABC的度数为_______．

【答案】95°.
【解析】如图所示：由题意可得，∠1=∠5=50°，

则∠ABC=180°－35°－50°=95°.
故答案为95°.
【名师点睛】此题主要考查了方位角，得出∠1的度数是解题关键．
考点六、角平分线
例６（2020滨州模拟）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB= 40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为 ( )

A . 50° B. 60° C.65° D.70°
【答案】D．
【解析】∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线
∴∠COD=∠DOE=30°，∠COB=∠BOA= 40°
∴∠BOD=∠COD+∠COB=30°+40°=70°.
【名师点睛】此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
考点七、余角与补角
例7（2020通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　）
A . B. C. D.
【答案】A
【解析】Ａ．∠与互余，故本选项正确；
B. ∠=，故本选项错误；
C. ∠=，故本选项错误；
D. ∠与互补，故本选项错误.
故选：A.
【名师点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键.

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. (2020安徽模拟)如图，下列不正确的几何语句是（ ）

（A）射线OA与射线AB是同一条射线 （B）射线OA与射线OB是同一条射线
（C）直线AB与直线BA是同一条直线 （D）线段AB与线段BA是同一条线段
【答案】A
【解析】射线OA与射线AB不是同一条射线，因为端点不同.
2.如图，从A地到B地最短的路线是（ ）

（A）A－C－G－E－B　　　　　 （B）A－C－E－B
（C）A－D－G－E－B 　　　　　（D）A－F－E－B
【答案】D
【解析】因为两点之间线段最短，从A地到B地，最短路线是A－F－E－B，故选D．
3. (2020武汉月考)如图，已知A、B两点之间的距离是10 cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间的距离是（ ）

（A）3 cm. （B）4 cm. （C）5 cm. （D）不能计算.
【答案】C
【解析】∵ AC+BC=AB，∴ AC的中点与BC的中点间的距离=AB=5（cm），故选C．
4.若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（　　）
（A）30° （B）40° （C）50° （D）60°
【答案】C
【解析】如图所示，∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣15°=45°，故选C．

5.（2020十堰）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点Ｏ．若∠AOC=130°，则∠BOD=（ ）

（A）30° （B）40° （C）50° （D）60°
【答案】C
【解析】∵∠AOC=130°，
∴∠BOD=∠AOC-∠AOB=40°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=50°，
故选：C．
6.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　）

（A）35° （B）70° （C）110° （D）145°
【答案】C
【解析】∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，∵∠COB=35°，∴∠DOB=70°，
∴∠AOD=180°﹣70°=110°，故选C．
7. （2020自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
（A）50° （B）70° （C）130° （D）160°
【答案】C
【解析】设这个角是x．根据题意，得，
x=2(180-x)+30,
解得：x=130,
即这个角的度数是130°．
故选C．
8.（2020辽宁一模）如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（　　）

（A）BC＝AB－CD. （B） BC＝（AD+CD）.
（C）BC＝AD－CD. （D）BC＝AC－BD.
【答案】B
【解析】A .∵ B是线段AD的中点，∴ AB=BD=AD.A.BC=BD－CD=AB－CD，故本选项正确； C .BC=BD－CD=AD－CD，故本选项正确，D.BC=AC－AB=AC－BD，故本选项正确．只有B选项是错误的．
9.如图，观察图形，下列说法正确的个数是（　　）
A
B
C
D

①直线BA和直线AB是同一条直线；②射线AC和射线AD是同一条射线；③AB+BD>AD；④三条直线两两相交时，一定有三个交点．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】C
【解析】①直线BA和直线AB是同一条直线，正确；②射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；③由“两点之间线段最短”知，AB+BD>AD，故此说法正确；④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，也可能只有一个交点．所以共有3个正确的，故选C．
10.（2020河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线，如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（　　）

（A）b均无限制 （B）a＞0，b＞DE的长
（C）a有最小限制，b无限制 （D）a≥0，b＜DE的长
【答案】B
【解析】以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为圆心画弧时，b必须大于，否则没有交点．
故选：B.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.（2020大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD=108°，则∠COB= ．

【答案】72°．
【解析】∵∠COD=90°，∠AOB=90°，∠AOD=108°，
∴∠AOC=∠AOD -∠COD =108°-90°=18°，
∴∠COB=∠AOB -∠AOC =90°-18°=72°，
故答案为：72°．
12.已知线段AB=10 cm，BC=5 cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC= .
【答案】5 cm或15 cm．
【解析】（1）当点C在线段AB上时，如图，有AC=AB－BC，

又∵ AB=10 cm，BC=5 cm，∴ AC=10－5=5（cm）；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，有AC=AB+BC，

又∵ AB=10 cm，BC=5 cm，∴ AC=10+5=15（cm）．
故线段AC=5 cm或15 cm．
13.如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD= _______.

【答案】90°
【解析】∵ OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴ ∠AOM=∠BOM，∠CON=∠DON.
∵ ∠MON=50°，∠BOC=10°，
∴ ∠MON－∠BOC =40°，即∠BOM+∠CON=40°.
∴ ∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=∠MON+∠BOM+∠CON＝50°+40°＝90°.
14.（2020广州）已知∠A=100°，则∠A的补角等于______°.
【答案】80．
【解析】∵∠A=100°，
∴∠A的补角=180°-100°=80°.
故答案为：80.
15.一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5 s，则当他走到第10杆时所用时间是_________.
【答案】11.7 s
【解析】从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔，
因而每个间隔行进6.5÷5=1.3（s）．
而从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔，
所以行进9个间隔共用1.3×9=11.7（s）．
16.（1）15°30′5″=_______″；（2）7 200″=_______´=________°；（3）0.75°=_______′=________″；（4）30.26°=_______°_______′______″.
【答案】 （1）55 805；（2）120，2；（3）45，2 700；（4）30，15，36
【解析】（1）55 805；（2）120，2；（3）45，2 700；（4）30，15，36
17. (2020济南月考)平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=_______.
【答案】 4
【解析】∵ 平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，∴ a+b=4．
18.如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=_________，∠BOE=__________．

【答案】152° 62°
【解析】∵ ∠AOC+∠COD=180°，∠AOC=28°，∴ ∠COD=152°.
∵ OC是∠AOB的平分线，∠AOC=28°，
∴ ∠AOB=2∠AOC=2×28°=56°，
∴ ∠BOD=180°－∠AOB=180°－56°=124°.
∵ OE是∠BOD的平分线，∴ ∠BOE=∠BOD=×124°=62°．
19.（2020大连模拟）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2022，且AO=2BO，则a+b的值为　 　．
【答案】﹣67
【解析】如图，a＜0＜b．∵|a﹣b|=2022，且AO=2BO，∴b﹣a=2022①，a=﹣2b②，由①②，解得b=674，∴a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣674．故答案是：﹣674．

20.平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为　 　．
【答案】6
【解析】∵平面内不同的两点确定1条直线，；
平面内不同的三点最多确定3条直线，即=3；
平面内不同的四点确定6条直线，即=6，
∴平面内不同的n点确定（n≥2）条直线，
∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，=15，解得n=﹣5（舍去）或n=6．
故答案为：6．
三、解答题（共60分）
21．（8分）(2020枣庄期中)尺规作图（不写作法，仅保留作图痕迹，在原图上不给分）：
如图，已知线段a、b（a＜b），求作线段AB，使AB=b－a．

【答案】如图所示见解析．
【解析】如图所示：AB = b – a．

22.（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.

【答案】∠2=65°．
【解析】∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，
∴ ∠3+∠FOC+∠1=180°，
∴ ∠3=180°－90°－40°=50°．
∵ ∠3+∠AOD=180°，∴ ∠AOD=180°－∠3=130°.
∵ OE平分∠AOD，
∴ ∠2=∠AOD=65°．
23.（8分）(2020沈阳期末)如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，

（1）填写下表：
点的个数
所得线段的条数
所得射线的条数
1


2


3


4






（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？
【答案】（1）表格见解析；（2）可以得到条线段，2n条射线.
【解析】（1）表格如下：
点的个数
所得线段的条数
所得射线的条数
1
0
2
2
1
4
3
3
6
4
6
8






（2）可以得到条线段，2n条射线.
24. （10分）(2020荆州期末)小明将一个底面为正方形，高为n的无盖纸盒展开如图（a）所示．
（1）请你计算图（a）所示的无盖纸盒的表面展开图的面积S1；
（2）将阴影部分剪拼成一个长方形，如图（b）所示，请你计算该长方形的面积S2．
（3）比较（1）（2）的结果，你得出什么结论？

【答案】（1）无盖纸盒的表面展开图的面积S1=9-4n2；（2）长方形的面积S2=（3+2n）（3-2n）；（3）9-4n2=（3+2n）（3-2n）．
【解析】（1）无盖纸盒的表面展开图的面积S1=32-4n2=9-4n2；
（2）长方形的长为：3+2n，宽为：3-2n，
∴长方形的面积S2=（3+2n）（3-2n）；
（3）由题可得，9-4n2=（3+2n）（3-2n）．
25.（12分）已知线段AB=10cm，试探讨下列问题：
（1）是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于8cm？
（2）是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于10cm？若存在，它的位置唯一吗？
（3）当点C到A，B两点的距离之和等于20cm时，点C一定在直线AB外吗？举例说明．
【答案】（1）不存在；（2）存在，位置不唯一；（3）不一定，举例说明见解析．
【解析】（1）不存在．
（2）存在，位置不唯一．
（3）不一定，也可在直线AB上，如图所示，线段AB=10cm，AC =5cm.

26.（14分）（2020成都一模） 如图所示，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
（1）若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠MON的度数；
（2）若（1）中改成∠AOB=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）若（1）中改成∠AOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面结果中看出有什么规律？

【答案】（1）∠MON=45°；（2）∠MON=30°；（3）∠MON=45°；（4）从上面结果中看出∠MON的大小是∠AOB的一半，与∠AOC无关．
【解析】（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠MOC=60°，
∵∠AOC=30°，
∴∠CON=15°，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=60°﹣15°=45°；
（2）∵∠AOB=60°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=90°，
∴∠MOC=45°，
∵∠AOC=30°，
∴∠CON=15°，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°﹣15°=30°；
（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，
∴∠BOC=150°，
∴∠MOC=75°，
∵∠AOC=60°，
∴∠CON=30°，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=75°﹣30°=45°；
（4）从上面结果中看出∠MON的大小是∠AOB的一半，与∠AOC无关．