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    初中数学九年级竞赛讲义:第01讲-走进追问求根公式

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    初中数学九年级竞赛讲义:第01讲-走进追问求根公式

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    第一讲   走进追问求根公式

        形如)的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

        求根公式内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。

    降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

    例题求解

    【例1】满足的整数n       个。

    思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。

    【例2】设是二次方程的两个根,那么的值等于(    

    A、一4    B8    C6    D0

    思路点拨:求出的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如

    【例3】 解关于的方程

    思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分两种情况讨论。

    【例4                 设方程,求满足该方程的所有根之和。

    思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

    【例5】 已知实数互不相等,且, 试求的值。                                             思路点拨:运用连等式,通过迭代把的代数式表示,由解方程求得的值。

    注:一元二次方程常见的变形形式有:

        (1)把方程)直接作零值多项式代换;

        (2)把方程)变形为,代换后降次;

    (3)把方程)变形为,代换后使之转化关系或整体地消去

    解合字母系数方程时,在未指明方程类型时,应分两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如


    走进追问求根公式学历训练

    1、已知是实数,且,那么关于的方程的根为                 

    2、已知,那么代数式的值是        

    3、若,则的值为        

    4、若两个方程只有一个公共根,则(     )

    A       B      C    D                                               

    5、当分式有意义时,的取值范围是(    )

        A   B   C    D                                                     

    6、方程的实根的个数是(    )   A0     B1    C2     D3

    7、解下列关于的方程:

    (1)    (2)      (3)

     

     

     

     

    8、已知,求代数式的值。

     

     

     

     

    9、是否存在某个实数m,使得方程有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。注:  解公共根问题的基本策略是:当方程的根有简单形式表示时,利用公共根相等求解,当方程的根不便于求出时,可设出公共根,设而不求,通过消去二次项寻找解题突破口。

     

     

     

     

     

    10、若,则        

    11、已知是有理数,方程有一个根是,则的值为        

    12、已知是方程的一个正根。则代数式的值为                                                  

    13、对于方程,如果方程实根的个数恰为3个,则m值等于(     )

    A1    B2    C    D25    

    14、自然数满足,这样的的个数是(     )

        A2       B1       C3         D4

    15、已知都是负实数,且,那么的值是(     )

    A     B       C     D

    16、已知,求的值。

    17、已知mn是一元二次方程的两个根,求的值。

     

     

     

     

    18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形:将正方形的各边等分,然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来,如图所示,若小正方形面积为,求的值。

     

     

     

     

     

    19、已知方程的两根也是方程的根,求的值。

     

     

     

     

     

    20、如图,锐角ABC中,PQRSABC的内接矩形,且SABC=S矩形PQRS,其中为不小于3的自然数.求证:需为无理数。

     

     

     


    参考答案

     

     

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