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数学八年级上册14.2.1 平方差公式示范课课件ppt
展开1.经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差 公式的结构特征.(重点)2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.(难点)
多项式与多项式是如何相乘的?
(x + 3)( x+5)
(a+b)(m+n)
①(x + 1)( x-1);②(m + 2)( m-2); ③(2m+ 1)(2m-1); ④(5y + z)(5y-z).
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
算一算:看谁算得又快又准.
②(m+ 2)( m-2)=m2 -22
③(2m+ 1)( 2m-1)=4m2 - 12
④(5y + z)(5y-z)= 25y2 - z2
①(x +1)( x-1)=x2 - 1,
想一想:这些计算结果有什么特点?
(a+b)(a−b)=
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等.
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
( 0.3x)2-12
练一练:口答下列各题: (l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________.
例1 计算:(1) (3x+2 )( 3x-2 ) ; (2)(-x+2y)(-x-2y).
(2) 原式= (-x)2 - (2y)2
解:(1)原式=(3x)2-22
方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式.
利用平方差公式计算:(1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a);(3)(-7m+8n)(-8n-7m).
解:(1)原式=(3x)2-52=9x2-25;
(2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2;
(3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2;
例2 计算:(1) 102×98;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
=10000 – 4
=(100+2)(100-2)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
计算:(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=(50+1)(50-1)
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
例3 先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
原式=5×12-5×22=-15.
解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)
=4x2-y2-4y2+x2
例4 对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数.
解:原式=9n2-1-(9-n2)
∵(10n2-10)÷10=n2-1.
方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系.
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?
理由:原正方形的面积为a2,
改变边长后面积为(a+4)(a-4)=a2-16,
方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题.
1.下列运算中,可用平方差公式计算的是( )A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y)C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y)
2.计算(2x+1)(2x-1)等于( )A.4x2-1 B.2x2-1 C.4x-1 D.4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是________.
(1)(a+3b)(a- 3b);
原式=(2a+3)(2a-3)
原式=(-2x2 )2-y2
原式=(a)2-(3b)2
(2)(3+2a)(-3+2a);
(3)(-2x2-y)(-2x2+y).
4.利用平方差公式计算:
5.计算: 20152 - 2014×2016.
20152 - 2014×2016
= 20152 - (2015-1)(2015+1)
- (20152-12 )
- 20152+12
6.利用平方差公式计算:
(1)(a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解:原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
7.先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2.
解:原式=x2-1+x2-x3+x3
原式=2×22-1=7.
8.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2+x3)=(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)=________;(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________;②2+22+23+…+2n=________(n为正整数);③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=________;
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:①(a-b)(a+b)=________;②(a-b)(a2+ab+b2)=________;③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________.
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