人教版八年级上册14.2.1 平方差公式获奖ppt课件

教学目标

1.理解平方差公式，能运用公式进行计算.

2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感悟数形结合思想.

教学重点难点

重点：平方差公式的推导和应用.

难点：平方差公式的变式运用.

教学过程

导入新课

导入一：在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：

（1）21×19＝？　　（2）103×97＝？

主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9 991.”其速度之快，简直就是脱口而出.同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？

导入二：如图1所示，现在有一块边长为a米的正方形草皮，要用其铺设街心公园，但在运输的过程中一角遭到损坏，使得正方形草皮一角有边长为b米的小正方形草皮无法使用.请你帮助设计一下，将不规则草皮通过剪拼变成规则的图形来铺设街心公园，看谁的方法多！

图1

思考：不规则草皮的面积怎样用代数式表示？规则草皮的面积怎样表示？它们之间又有什么关系？

导入三：从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，邻居们都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊.同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？

通过本节课的学习，你将能解释其中的原因！

探究新知

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x-1）＝ 　　　　；

（2）（m+2）（m-2）＝ 　　　　；

（3）（2x+1）（2x-1）＝ 　　　　.

师生活动

教师多媒体展示题目，学生独立完成，根据计算结果寻找规律.

问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：

（1）式子的左边具有什么共同特征？

（2）它们的结果有什么特征？

（3）能不能用字母表示你的发现？

（4）你能对发现的规律进行推导吗？

师生活动

教师提问，学生通过自主探究、合作交流发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a-b）＝a2-b2.运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式.

问题3：前面探究所得的式子（a+b）（a-b）＝a2-b2，称为乘法的平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？

师生活动

学生回答问题，相互补充.最后得出： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即（a+b）· （a-b）＝a2-b2.

问题4：你能根据图2中图形的面积说明平方差公式吗？

图2

（1）长方形AMHG的长和宽分别是什么？怎样求面积？

（2）如果长方形AMHG中的一部分长方形FEHG被分割下来，并补到长方形MBCD的位置，就形成多边形ABCDEF，此时多边形ABCDEF的面积又可以怎样表示？

（3）上述两种方法表示的面积有什么关系？

师生活动

教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程.若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题.

活动探究：将长为a+b、宽为a-b的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a>b>0）.

在平方差公式（a+b）（a-b）＝a2-b2中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2-b2.

②让学生说明问题1的三个算式中，哪些式子或数相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可以代表数或式.

新知应用

例1　运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）；（2）（-x+2y）（-x-2y）.

师生活动

师生共同解答，教师板书（1），学生板书（2）.在解答（1）的过程中，教师引导学生明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果；在解答（2）的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法.

解：（1）（3x+2）（3x-2）＝（3x）2-22＝9x2-4；

（2）（-x+2y）（-x-2y）＝（-x）2-（2y）2

＝x2-4y2 .

例2　计算：

（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）；（2）102×98.

师生活动

师生共同分析，得出：（1）中的前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；（2）是两个数乘积的简捷计算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算.问题（2）对一部分学生来说，有一定的难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数.

解：（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

＝y2-22-（y2+4y-5）

＝y2-4-y2-4y+5

＝-4y+1；

（2）102×98＝（100+2）（100-2）

＝1002-22＝10 000-4

＝9 996.

课堂小结

教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学了哪些内容？

（2）平方差公式是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？

布置作业

教材第112页习题14.2第1题.

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