2021年高考数学一轮复习夯基练习：直线、平面平行的判定及其性质(含答案)

夯基练习 直线、平面平行的判定及其性质

一 、选择题

1.设α，β是两个平面，直线a⊂α，则“a∥β”是“α∥β”的(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

2.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：

①四边形EFGH是平行四边形；

②平面α∥平面BCC1B1；

③平面α⊥平面BCFE.

其中正确的命题有(　　)

A．①②           B．②③         C．①③           D．①②③

3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

4.，，则与的关系为（    ）

A、 必相交        B、 必平行       C、 必在内       D、 以上均有可能

5.有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；

②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；

③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直．其中正确命题的个数为(　　)

A．0            B．1           C．2            D．3

6.有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是(　　)

A．1         B．2           C．3             D．4

7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

8.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，

在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是(　　)

A．1            B．2          C．3            D．4

9.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是(　　)

10.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面．则下列四个命题中，正确的是(　　)

A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

11.在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(　　)

A．不存在        B．有且只有两条     C．有且只有三条    D．有无数条

12.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=(　　)

A.　　　          B．            C.                D．

二 、填空题

13.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=2 cm，DE=4 cm，EF=3 cm，则AC的长为________cm.

14.n平面，则m∥n是m∥的______条件

15.若平面及这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，则直线l和平面的位置关系是________

16.在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_____．

三 、解答题

17.如图：线段AB、CD所在的直线是异面直线，E、F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中点，P、Q两点分别是AB和CD上的任意点，求证：PQ被平面EFGH平分、

18.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG．

19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；

(2)求四面体N－BCM的体积．

20.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.

求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

参考答案

1.答案为：B；

解析：依题意，由a⊂α，a∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；

反过来，由α∥β，a⊂α，可得a∥β.

综上所述，“a∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.

2.答案为：C；

解析：由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B=EH，所以AA1∥EH.

同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH=GF=AA1，

所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，

由平面α∩平面A1B1C1=GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1，知GH∥B1C1，

而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，

又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选C.

3.答案为：B；

解析：因为l⊄α，若在平面α内存在与直线l平行的直线，则l∥α，这与题意矛盾．故选B．

4.A；

5.答案为：C.

解析：①分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线，故①错误．

②此命题是直线与平面垂直的性质定理，故②正确．

③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直，这样的平面有且只有一个．故③正确．

所以②③正确．

6.答案为：A；

解析：

命题①，l可以在平面α内，是假命题；

命题②，直线a与平面α可以是相交关系，是假命题；

命题③，a可以在平面α内，是假命题；

命题④是真命题．

7.答案为：A；

解析：法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，

所以MQ∥CD，所以AB∥MQ .又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.

法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.

因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，

根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，

选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.

8.答案为：B；

解析：画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，

所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；

②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；

③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，

BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；

④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．

所以正确结论的个数是2.

9.答案为：A.

10.答案为：D.

解析：对于选项A，a，b不一定平行，也可能相交；对于选项B，只需找个平面γ，使γ∥α∥β，且a⊂γ，b⊂γ即可满足题设，但a，b不一定平行；对于选项C，由直三棱柱模型可排除C.

11.答案为：D；

解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．

12.答案为：D.

解析：如图，连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，

平面PAC∩平面BEF=FG，所以PA∥FG，所以=.

又AD∥BC，E为AD的中点，所以==，所以=.

二 、填空题

13.答案为：3.5；

解析：因为平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，连接AD，BE，CF(图略)．所以AD∥BE∥CF，所以=，

因为AB=2 cm，DE=4 cm，EF=3 cm，所以=，解得BC= cm，

所以AC=AB＋BC=2＋1.5=3.5(cm)．

14.既不充分也不必要

15.

16.答案为：平面ABD与平面ABC；

解析：

如图，取CD的中点E.

连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA=1∶2，EN∶BN=1∶2，

所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

三 、解答题

17.证明：PQ∩平面EEFGH=N，

连PC，设PC∩EF=M

平面PCQ∩平面EFGH=MN，

CQ∥平面EFGH

∴MN∥CQ

因为EF是△ABC的中位线，所以M是CP的中点，则N是PQ的中点，

即 PQ被平面EFGH平分

18.证明：

(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，

因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE中点，

又M为AB中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF．

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG．

又M为AB的中点，N为AD的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG．

19.解：

(1)证明：由已知得AM=AD=2，

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN=BC=2．

又AD∥BC，故TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB．

(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为PA．

取BC的中点E，连接AE．

由AB=AC=3得AE⊥BC，AE==．

由AM∥BC得M到BC的距离为，

故S△BCM=×4×=2．

所以四面体N－BCM的体积VN－BCM=·S△BCM·=×2×2=．

20.证明：

(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，

则AE必过DF与GN的交点O.

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD=D，

所以平面BDE∥平面MNG.