2021年高考数学一轮复习夯基练习：直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)

夯基练习 直线、平面垂直的判定及其性质一 、选择题1.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在(　　)A．直线AC上        B．直线AB上       C．直线BC上        D．△ABC内部  2.如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　)A．重心         B．内心            C．外心         D．垂心  3.直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是                     （   ）A、平行       B、垂直         C、在平面内   D、无法确定4.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是(　　)A．l1⊥m，l1⊥n       B．m⊥l1，m⊥l2          C．m⊥l1，n⊥l2        D．m∥n，l1⊥n  5.下列命题中正确的是（   ）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个6.a∥，则a平行于内的(　)A、一条确定的直线                B、任意一条直线C、所有直线                      D、无数多条平行线7.直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是                  （   ）A、平行              B、垂直              C、在平面内              D、无法确定8.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题，错误的命题是(　　)A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥bB．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β  9.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上       B．直线BC上      C．直线AC上       D．△ABC内部  10.若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是                    （    ）A、相交    B、b∥    C、b    D、b∥，或b11.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)A.BC∥平面PDF           B.DF⊥平面PAE  C.平面PDF⊥平面ABC     D.平面PAE⊥平面ABC 12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(　　)A.0.5                         B.1                            C.1.5                          D.2 二 、填空题13.过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 14.过一点可作________个平面与已知平面垂直.15.设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是           .16.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.  三 、解答题17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2.（1）求证：平面BDE⊥平面BEC;(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小. 18.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC=，求三棱锥C­PAB的高．           19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB=AD=1,AB//CD,AB⊥AD，点E为PC的中点.平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形.（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角A-PB-C的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值.           20.如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．        
参考答案1.答案为：B；解析：如图，连接AC1.∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B，∴AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B.  2.答案为：D；解析：如图，O是点P在平面ABC内的投影，连接OA，OB，OC，∵PA，PB，PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC，而PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC，又PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO．又AO⊂平面PAO，∴BC⊥AO．同理可知AC⊥BO，AB⊥CO．∴O为△ABC的垂心．故选D．  3.D；4.答案为：B；解析：由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.  5.D；6.D；7.D；8.答案为：D；解析：构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1．对于D，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCDA1B1∥平面A1B1C1D1．  9.答案为：A；解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1．又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．  10.D；11.【答案】C；【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立. 12.A　设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=. 二 、填空题13.一个 14.无数15.16.答案:2;解析:取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE=，EC=1，在Rt△DEC中，CD==2. 三 、解答题17.【解析】（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,又在正方形ADEF中，ED⊥AD,所以，ED⊥平面ABCD.而BC平面ABCD,所以，ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，CD=2,所以，BD2+BC2=CD2,所以，BC⊥BD.又ED,BD包含于平面BDE,ED∩BD=D,所以，BC⊥平面BDE.而BC平面BEC,所以，平面BDE⊥平面BEC.(2)因为EF∥AD,EF平面ABCD,AD平面ABCD,所以,EF∥平面ABCD.因为平面EFB与平面ABCD有公共点B，所以可设平面EFB∩平面ABCD=BG,G∈CD.因为EF∥平面ABCD,EF平面EFB,平面EFB∩平面ABCD=BG,所以EF∥BG.从而，BG∥AD,又AB∥DG,且AB=1,CD=2,所以G为CD中点，ABGD也为正方形.易知BG⊥平面ECD,所以BG⊥EG,BG⊥DG.所以，∠EGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而∠EGD=45°,所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45°.18.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=，所以AC2＋BC2=AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.(2)由PC=，PC⊥CB，得S△PBC=×()2=1.由(1)知，AC为三棱锥A­PBC的高．易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，则PA=AB=PB=2，于是S△PAB=×22sin 60°=.设三棱锥C­PAB的高为h，则S△PAB·h=S△PBC·AC，×h=×1×，解得h=，故三棱锥C­PAB的高等于. 19.解：20.解：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD