2021年九年级中考数学复习试卷十（含答案）

2021年九年级中考数学复习试卷
一、选择题：
1．3的负倒数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．如图，直线m∥n，则90°﹣∠α为（　　）

A．70° B．65° C．50° D．40°
3．在下面的四个几何图形中，左视图与主视图不相同的几何体是（　　）
A．长方体 B．正方体 C．球 D．圆锥
4．下列计算正确的是（　　）
A．﹣=B． =±2 C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a6
5．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
3
4
5
8
户 数
2
3
4
1
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（　　）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量 D．中位数是4.5
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．12
7．根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（　　）

A． B． C． D．
8．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（　　）
A． +1 B．1 C．﹣1 D．﹣5
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

A．2B． C．2D．
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①a﹣b+c=0；
②b2＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x=﹣．
其中结论正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：
11．世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为　　　　　　．
12．分解因式x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+3=　　　　　　．
13．不等式组的所有正整数解之和为　　　　　　．
14．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是　　　　　　（只填写序号）．

15．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是　　　　　　海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）

16．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为3，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为　　　　　　．

三、解答题：
17．计算：（）﹣2﹣4÷+（3.14﹣π）0×cos60°．





18．先化简，再代入一个自己喜欢的值计算：（x2﹣2x）÷．






19．某市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？



20．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．










21．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．








22．如图，点B（3，3）在双曲线y=（x＞0）上，点D在双曲线y=﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．











23．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？



24．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．






25．已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

　
参考答案
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分
1．3的负倒数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【考点】倒数．
【专题】计算题．
【分析】根据倒数的定义直接求出3的负倒数．
【解答】解：3的负倒数为﹣．
故选B．
【点评】本题考查了倒数的定义：a与互为倒数．
　
2．如图，直线m∥n，则90°﹣∠α为（　　）

A．70° B．65° C．50° D．40°
【考点】平行线的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】如图根据平行线的性质先求出∠2，再根据对顶角相等求出α，即可解决问题．
【解答】解：如图，

∵m∥n，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=130°，
∴∠2=50°，
∵∠2=∠α，
∴α=50°，
∴90°﹣α=40°，
故选D．
【点评】本题考查平行线的性质、记住两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，属于中考常考题型．
　
3．在下面的四个几何图形中，左视图与主视图不相同的几何体是（　　）
A．长方体 B．正方体 C．球 D．圆锥
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】常规题型．
【分析】根据几何体的三种视图，对各图形的主视图与左视图分析后进行选择即可．
【解答】解：A、长方体的主视图的长方形的长与宽分别是长方体的长与高，左视图的长方形的长与宽分别是长方体的宽与高，两图形不一定相同；
B、正方体的主视图与左视图是全等的正方形；
C、球的主视图与左视图是半径相等的圆；
D、圆锥的主视图与左视图是全等的等腰三角形．
故选A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
　
4．下列计算正确的是（　　）
A．﹣=B． =±2 C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a6
【考点】同底数幂的除法；实数的运算；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的运算法则判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
B、=2≠±2，故B选项错误；
C、a6÷a2=a4≠a3，故C选项错误；
D、（﹣a2）3=﹣a6，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算法则判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．熟记法则是解题的关键．
　
5．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
3
4
5
8
户 数
2
3
4
1
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（　　）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量 D．中位数是4.5
【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．
【专题】常规题型．
【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故A选项错误；
B、这组数据的平均数是：（3×2+4×3+5×4+8×1）÷10=4.6，故B选项正确；
C、调查的户数是2+3+4+1=10，故C选项正确；
D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）÷2=4.5，则中位数是4.5，故D选项正确；
故选：A．
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
　
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．12
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．
　
7．根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（　　）

A． B． C． D．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2013除以4，根据商和余数的情况解答即可．
【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2012÷4=503，
即0到2011共2012个数，构成前面503个循环，
∴2012是第504个循环的第1个数，2013是第504个循环组的第2个数，
∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．
故选：D．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
　
8．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（　　）
A． +1 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】已知等式变形求出a+的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a2﹣3a+1=0，且a≠0，
∴同除以a，得a+=3，
则原式=3﹣2=1，
故选：B．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

A．2B． C．2D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，
又∵点G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG=3，
在Rt△CED中，DE==2．
故选：C．
【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
　
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①a﹣b+c=0；
②b2＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x=﹣．
其中结论正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【分析】将点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断①正确；
将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a﹣b+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=．由b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当a=时，b2﹣4ac=0，即可判断②错误；
③由b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1•x==﹣1，即x=1﹣，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；
④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣，即可判断④正确．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，
两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，
两式相减，得2b=1，b=．
∵b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，
当2a﹣=0，即a=时，b2﹣4ac=0，故②错误；
③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则﹣1•x===﹣1，即x=1﹣，
∵a＜0，∴﹣＞0，
∴x=1﹣＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．
　
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为　6.7×106　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将6700 000m用科学记数法表示为：6.7×106．
故答案为：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
12．分解因式x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+3=　（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣3）　．
【考点】因式分解-分组分解法．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式结合后，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+3=（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣3），
故答案为：（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，将原式进行适当的分组是解本题的关键．
　
13．不等式组的所有正整数解之和为　3　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将所有正整数解相加可得．
【解答】解：解不等式x＜2x+1，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣2（x﹣1）≤4，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
则其所有正整数解之和为：1+2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
　
14．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是　③　（只填写序号）．

【考点】菱形的判定．
【专题】推理填空题．
【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．
【解答】解：由题意得：BD=CD，ED=FD，
∴四边形EBFC是平行四边形，
①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，
②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，
③AB=AC，
∵，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠BAD=∠CAD
∴△AEB≌△AEC（SAS），
∴BE=CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：③．
【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．
　
15．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是　24　海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】几何图形问题．
【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【解答】解：∠CBA=25°+50°=75°．
作BD⊥AC于点D．
则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°．
在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．
故答案是：24．

【点评】本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．
　
16．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为3，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为　　．

【考点】扇形面积的计算．
【分析】由OC=3，点C在上，CD⊥OA，求得DC==，运用S△OCD=OD•，求得OD=时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解．
【解答】解：∵OC=3，点C在上，CD⊥OA，
∴DC==
∴S△OCD=OD•
∴S△OCD2=OD2•（9﹣OD2）=﹣OD4+OD2=﹣（OD2﹣）2+
∴当OD2=，即OD=时△OCD的面积最大，
∴DC===，
∴∠COA=45°，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积=﹣××=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=时△OCD的面积最大．
　
三、解答题：（本题有9个小题，共72分）
17．计算：（）﹣2﹣4÷+（3.14﹣π）0×cos60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义，以及除法法则计算，第三项利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=9﹣+
=9．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
18．先化简，再代入一个自己喜欢的值计算：（x2﹣2x）÷．
【考点】分式的化简求值．
【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，选取x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=x（x﹣2）•
=x，
当x=1时，原式=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值保证分式有意义．
　
19．某市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？
【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据C的人数和所占的百分比列式计算即可得解；
（2）求出D的总人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以C所占的百分比计算即可得解；
（4）根据全校总人数和E的人数，计算即可求出概率．
【解答】解：（1）该校共有学生：300÷30%=1000名；

（2）D的人数为：1000×35%=350名，
补全条形统计图如图所示；

（3）“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数360°×30%=108°；

（4）成绩为“90﹣100分”的概率是： =．

【点评】本题考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，还考查了条形统计图与扇形统计图的知识．
　
20．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
【解答】证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
　
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】判别式法．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，建立关于m的方程，据此即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得8m+8≥0，
解得m≥﹣1，
∴实数m的取值范围是m≥﹣1；

（2）由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1•x2=m2﹣1，
（x1﹣x2）2=16﹣x1x2
（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，
∴m2+8m﹣9=0，
解得m=﹣9或m=1
∵m≥﹣1
∴m=1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
　
22．如图，点B（3，3）在双曲线y=（x＞0）上，点D在双曲线y=﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．

【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）把B的坐标代入求出即可；
（2）设MD=a，OM=b，求出ab=4，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．
【解答】解：（1）∵点B（3，3）在双曲线y=上，
∴k=3×3=9；

（2）∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
设MD=a，OM=b，
∵D在双曲线y=﹣（x＜0）上，
∴ab=4，
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠DMA=∠ANB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=3，DM=AN=a，
∴0A=3﹣a，
即AM=b+3﹣a=3，
a=b，
∵ab=4，
∴a=b=2，
∴OA=3﹣2=1，
即点A的坐标是（1，0）．

【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
　
23．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

【考点】二次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征抛物线的顶点为（6，4），可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4，将点（3，1）代入可得出函数解析式．
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．
【解答】解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．

（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），
故可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4．
∵抛物线过（3，1）点，
∴a（3﹣6）2+4=1．
解得．
故抛物线的解析式为Q=﹣（t﹣6）2+4，
即，其中t=3，4，5，6，7．

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，
∴
解得
∴，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M﹣Q==．
即，
其中t=3，4，5，6，7．
当t=5时，W有最小值为元，
即30000件商品一个月内售完至少获利=110000（元）．
答：该公司一个月内至少获利110000元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大．
　
24．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．

【考点】圆的综合题；平行线的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OC=1，CF=OF=；
（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得==，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连结OC，如图1，
∵DE与⊙O切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AC平分∠DAB；

（2）解：如图1，
∵直径AB=4，B为OE的中点，
∴OB=BE=2，OC=2，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC=90°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=OC=1，
CF=OF=；

（3）解：连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴==，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴==，
设⊙O的半径为R，OE=x，
∴=，
解得OE=3R，
在Rt△OCE中，sin∠E===．


【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算．
　
25．已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．
【专题】压轴题；存在型．
【分析】（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S△OAC：S△OAD的值．
（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）．
∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2经过点B（﹣2，﹣1），
∴a（﹣2+1）2﹣2=﹣1．
解得：a=1．
∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）2﹣2．

（2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，
∴抛物线C2的解析式为：y=（x+1）2﹣2﹣2=（x+1）2﹣4．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3．
联立
解得：或．
∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．
∴OC=3，OD=3．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点A作AF⊥y轴，垂足为F，
∵A（﹣1，﹣2），
∴AF=1，AE=2．
∴S△OAC：S△OAD
=（OC•AE）：（OD•AF）
=（×3×2）：（×3×1）
=2．
∴S△OAC：S△OAD的值为2．

（3）设直线m与y轴交于点G，设点G的坐标为（0，t）．
1．当直线m与直线l平行时，则有CG∥PQ．
∴△OCG∽△OPQ．
∴=．
∵P（﹣4，0），Q（0，2），
∴OP=4，OQ=2，
∴=．
∴OG=．
∵当t=时，直线m与直线l平行，
∴直线l，m与x轴不能构成三角形．
∴t≠．
2．当直线m与直线l相交时，设交点为H，
①t＜0时，如图2①所示．
∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，
∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．
当∠PHC=∠GHQ时，
∵∠PHC+∠GHQ=180°，
∴∠PHC=∠GHQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ．
∴△PHC∽△GHQ．
∵∠QPO=∠OGC，
∴tan∠QPO=tan∠OGC．
∴=．
∴=．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，﹣6）
设直线m的解析式为y=mx+n，
∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上，
∴．
解得：．
∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6，
联立，
解得：或
∴E（﹣1，﹣4）．
此时点E就是抛物线的顶点，符合条件．
∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6．
②当t=0时，
此时直线m与x轴重合，
∴直线l，m与x轴不能构成三角形．
∴t≠0．
③O＜t＜时，如图2②所示，
∵tan∠GCO==＜，
tan∠PQO===2，
∴tan∠GCO≠tan∠PQO．
∴∠GCO≠∠PQO．
∵∠GCO=∠PCH，
∴∠PCH≠∠PQO．
又∵∠HPC＞∠PQO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
④＜t≤2时，如图2③所示．
∵tan∠CGO==≥，
tan∠QPO===．
∴tan∠CGO≠tan∠QPO．
∴∠CGO≠∠QPO．
∵∠CGO=∠QGH，
∴∠QGH≠∠QPO，
又∵∠HQG＞∠QPO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
⑤t＞2时，如图2④所示．
此时点E在对称轴的右侧．
∵∠PCH＞∠CGO，
∴∠PCH≠∠CGO．
当∠QPC=∠CGO时，
∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，
∴△PCH∽△GQH．
∴符合条件的直线m存在．
∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，
∴△POQ∽△GOC．
∴=．
∴=．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，6）．
设直线m的解析式为y=px+q
∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上，
∴．
解得：．
∴直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，
此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6．





【点评】本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度．