安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考 数学（理）(含答案) 试卷

“皖南八校”2021届高三第二次联考数学（理科）2020.12考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则（    ）A．      B．      C．      D．2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（    ）A．      B．      C．      D．3．已知双曲线的渐近线方程是，且与椭圆有共同焦点，则双曲线的方程为（    ）A．      B．      C．      D．4．若是公比为e的正项等比数列，则是（    ）A．公比为等比数列      B．公比为3的等比数列C．公差为的等差数列      D．公差为3的等差数列5．和是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（    ）A．      B．      C．      D．6．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，．过作与侧棱垂直的平面，交于点E．则的长为（    ）A．      B．      C．      D．7．已知正实数a，b，满足，则（    ）A．      B．      C．      D．8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（    ）A．      B．      C．      D．9．如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（    ）A．      B．      C．      D．10．设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）A．      B．      C．      D．11．已知正项数列的前n项和为，如果都有，数列满足，数列满足．设为的前n项和，则当取得最大值时，n的值等于（    ）A．17      B．18      C．19      D．2012．已知直线与曲线相切于点A、与曲线的另一交点为B，若A、B两点对应的横坐标分别为，则（    ）A．      B．2      C．1      D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为_________．14．若展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．16．已知，若，则___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，角B的平分线交于点D，，求．18．（12分）8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．年份代码x12345进入500强的企业数理y103109111119124（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为，求的分布列与期望．参考数据：，．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．19．（12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，M为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数．（1）求证：当时，函数在内单调递减；（2）若函数在区间内有且只有一个极值点，求m的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．（1）求抛物线C标准方程；（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；（2）点P极坐标为，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q求线段的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，证明：（1）；（2）．“皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1．A  因为，所以，因为，所以．2．C  ∵，∴．3．B  椭圆，即的焦点为．可设双曲线的方程为，可得．由渐近线方程是，可得，解得，则双曲线的方程为．4．D  令，则，所以．5．C  由题意可知中垂线为中点，则直线方程为：，故，在中，，，，∵，故，，故圆C面积为．6．D  依题意，，所以，易知，则的长为．7．D  对A，取，则，故错误；对B，取，则，故错误；对C，取，则，故错误；对D，由可知，由同向不等式相加的性质可得，可得．8．C  设球的直径为，则球的内接正方体的棱长为a，正方体的内切球的半径，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴，∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为．9．A  由于，则．设与相平行的直线的方程为，当直线过点时，；当直线过点和时，；直线过点和时，．则由图中阴影部分可得或，这里．则一定有．10．B  设，易得在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．11．D  当时，，整理得，因为，所以，当时，，可得，所以，即数列是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由，可得，故，则，当时，；当时，，故当时，；当时，；当时，，当时，，又，故当时，取得最大值．12．C  如图直线l与相切于点A，则，直线过定点，则，∴．13．  由题意，则．14．10  由展开式的各项系数之和为32，则．令，解得，所以展开式中的含项的系数为10．15．  设，则．由，得从而有，又，所以，又由，从而得到所以，所以．16．  等价于，如图，构造三角形为边上的高且，其中，则，，，即，则，故，则，化简得，又，解得，故．17．解：（1）因为，由正弦定理可得，                     2分因为，所以，则，                       4分故，所以．                      6分（2）由（1）可知，又；所以，可得，所以，                            8分在中，由正弦定理可得，故，                   10分．               12分18．解：（1）由题意可知，，，，               2分，，所以y关于x的回归方程为．                 5分将代入，得，故预计2021年中国大陆进入世界500强的企业数量大约129家．      6分（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，                       8分，．所以的分布列为：                                 10分0123P．                   12分19．（1）证明：设N为中点，连接（如图），因为M为的中点，所以为中位线，所以，且．又因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以．                     2分因为平面平面，所以平面．                4分（2）解：由已知，平面平面，且四边形为正方形，所以．又平面平面，所以平面，又平面所以．又因为，所以两两互相垂直．如图，以D为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系．     6分不妨设，则，因为M为的中点，所以．于是，设平面的法向量为，则所以令，则．易知平面的法向量为，                   8分设平面与平面所成锐二面角为，则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．                   12分20．（1）证明：函数的定义域为．                 1分当时，．                    2分设，则．则当时，，函数单调递增；当时，函数单调递减．               4分所以在内，函数的最大值为．即在内，函数．由于，所以在上，．             5分所以函数在上单调递减．            6分（2）解：．                  7分设．若函数在区间内有且只有一个极值点，则函数在区间上有且只有一个零点，且在这个零点两侧异号．设是函数的两个零点（，方程有两个不相等的实数根）．则函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．由于是方程的两根，且，则，又，则．                 9分若函数在区间上有且只有一个零点，则．解得．                     10分当时，时，，所以在这个零点两侧异号，即在这个零点两侧异号．               11分当时，．又在内成立，所以在内单调递增，故无极值点．当时，，易得时，，故无极值点．所以当函数在区间内有且只有一个极值点时，m的取值范围是．               12分21．解：（1）当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为，代入抛物线方程，可得，故，                 2分，得，                   3分故抛物线C标准方程为．                      4分（2）设．                     5分易知直线，直线，                     6分联立得则的中垂线方程分别为：：，：．                8分联立解得：，                9分由于，故，，               11分故，所以，则的所有可能取值为1．              12分22．解：（1）由题意可知圆C普通方程为，直线l直角坐标方程为．     4分（2）点P直角坐标为，设直线l的参数方程为代入圆普通方程得，              6分设A，B对应参数为，则Q对应的参数为，                 8分故．                    10分23．解：（1），                  2分而，                 4分故，当且仅当不等式取等号；                5分（2）由柯西不等式可得，           8分而，故，当且仅当不等式取等号．          10分