专题01 空间向量及其运算（重难点突破）（解析版）-高二上（新教材人教A版）

专题01 空间向量及其运算重难点突破
一、 知识结构思维导图

二、 学法指导与考点梳理
1．空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【几类特殊的向量】
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
【名师提醒】　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．
2．空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
　
图1　　　　　　　　图2
(1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b．
(2)如图2，＋＋＝．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
(2)空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．
(3)数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.

②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量数量积的性质：
①a⊥b⇔a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
5．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？
【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．
6．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
7．空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．
思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
【名师提醒】　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
8．空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(4)|a|＝＝；
(5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
9．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝．
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
10．空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
11．空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
三、 重难点题型突破
重难点1 空间向量的概念及其线性运算
例1．（1）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.故选B
（2） 给出以下结论：
两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
若空间向量，，满足，则；
在正方体中，必有；
若空间向量，，满足，，则．
其中不正确的命题的序号为________．
【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解析】若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；
若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；
在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；
若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．
【变式训练1】．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图



故选
【变式训练2】．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】作出平行六面体的图像如图，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.综上，正确的有ABC.

【变式训练3】．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
【答案】ABC
【解析】对于，，， ，，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，即，故正确；对于，若，，则,
,
,
,,,故正确；
对于，



,,
故错误.
重难点2 空间向量的基本定理
例2．（1）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，
对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，故选C
（2）已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
【解析】(1)易知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
【变式训练1】．如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．

【分析】(1)判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．
【解析】(1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋(－)
＝b＋a＋(c－b)＝b＋a＋c－b＝a＋b＋c．
＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋(－)＝a＋b＋(c－b)＝a＋b＋c．
【变式训练2】．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．

【解析】∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R为所在边的中点，
顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝．
∵四边形MNQR为平行四边形，∴＝－＝－＝＝(＋)
＝(－)＋(－)＝＋＝＋，
∴由共面向量定理得，，共面，
所以E，F，G，H四点共面．
【变式训练3】．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【答案】D
【解析】　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由、、共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a，b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．
重难点3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
例3．（1）已知点，向量，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点，则向量，
所以，所以点.故选：D
（2）已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，因为点在直线上运动，所以，
所以，即，，所以，所以
，所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.
（3）（多选题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则为单位向量
【答案】BD
【解析】
对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.
【变式训练1】．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
【变式训练2】．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
【解析】(1)∵∥，∴设＝λ，
又＝(3，－2，－1)，∴＝(3λ，－2λ，－λ)，
又||＝ ＝2，得λ＝±2，
∴＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
又A(0,2,3)，
设P(x，y，z)，
∴或得或
∴P(6，－2,1)或(－6,6,5)．
(2)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
cos〈，〉＝＝＝，∴∠BAC＝60°.
∴以，为邻边的平行四边行的面积
S＝||||sin 60°＝14×＝7.

四、 课堂定时训练（45分钟）
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．以上都不对
【答案】D　
【解析】[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，
∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]
2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 (　　)

①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个　　　B．2个 C．3个　　　D．4个
【答案】D　
【解析】[根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝．②(＋)＋＝＋＝．
③(＋)＋＝＋＝．④(＋)＋＝＋＝．
所以，所给4个式子的运算结果都是．]
3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　)
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
【答案】D
【解析】[由条件AF＝EF知，EF＝2AF，

∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)
＝(＋)
＝＋(＋)＝＋＋．]
4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　)
A．a　　　　 B．b
C．c　　　　 D．无法确定
【答案】C　
【解析】∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，∵b＝p－q，∴b与p，q共面，
∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，
5．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C且有6＝＋2＋3，则(　　)
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B　
【解析】[由6＝＋2＋3得－＝2(－)＋3(－)，
即＝2＋3．
∴，，共面，又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．]
6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
【答案】C　
【解析】[由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝．]
7．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为(　　)
A．3　　　B．3 C．2　　　D．2
【答案】B　
【答案】[||＝＝
＝，当a＝－1时，||min＝＝3．]
8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．
【分析】
本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．
【解答】
解：设
则，，
，

，
则对角线的长为．
故答案为．
9.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．
【解析】解：为空间的一个基底，
且，，，
设向量，，共面，则存在实数m，n，使，
，
解得，；
因此不能作为空间的一个基底．
故答案为：不能．
10．已知是平行六面体．

（1）化简，并在图形中标出其结果；
（2）设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求，，的值．
【解析】（1）如图所示，取线段中点E，则，，
取，
∵，∴．
则．

（2）∵
，∴，，．
11．已知长方体中, ，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1），，；
（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析
【解析】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，，
与不垂直，所以直线与直线不垂直.