专题05、2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈立体几何与球有关的专题解析版
展开立体几何外接球、内切球专题
1、在三棱锥中，底面.若，分别是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
答案：
解析：
根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.
【详解】
因为底面，所以.
又，所以平面，故.
又，故，
所以平面，
所以.
又，
所以，故两两垂直.
又，
故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，，的长方体外接球半径相同.
所以三棱锥的外接球的半径为，
故外接球的表面积为.
故答案为：.
2、已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析：
由题意，可求得的面积，进而通过的体积得到三棱锥的高，即球心到平面的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球的半径，即得解.
【详解】
由题意，
.
又的外接圆的半径
因此球的半径
球的表面积：.
故选：C
3、已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
证明平面，以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱，则球是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.
【详解】
由，，得.
由点是的中点及，易求得，又，所以，所以平面.
以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱，则球是该三棱柱的外接球，
球心到底面的距离，
由正弦定理得的外接圆半径，
所以球的半径为，所以球的表面积为.
故选：.
4、已知四边形是菱形，，，将菱形沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
答案： B
解析： 由菱形中，连接和交于，求出，由二面角的余弦值为，可得，即四面体为棱长为2的正四面体求解可得表面积，将正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果.
详解：由题意，菱形中，连接和交于，
可知，即，，
∵，，∴，
∴为二面角的平面角，即，
由余弦定理可得：
即,
即四面体为棱长为2的正四面体，
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，
∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的表面积的值为，
故选：B.
5、已知，，是球心为的球面上三点，，，若三棱锥体积的最大值为1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析：
根据题意分析可知，当平面平面时，三棱锥体积的最大．此时，点到平面的距离达到最大值，为正三角形的边上的高，根据三棱锥的体积公式计算体积，可解得，根据球的表面积公式可得结果.
详解：设球半径为，当平面平面时，三棱锥体积的最大．
注意是正三角形，是顶角等于的等腰三角形，
所以，所以.
故选：B.
6、在四面体ABCD中，，，，二面角D-AC-B的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.
答案：
解析：
取的中点，和的中心，点是外接圆的圆心，点是外接圆的圆心，过点分别作平面和平面的垂线，交于点，
在四边形中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.
【详解】
由条件可知是等边三角形，
取的中点，和的中心，
过点分别作平面和平面的垂线，交于点，
，，
如图：
由条件可知，，
，
，
，
，
7、如图，在体积为的四棱锥中，底面ABCD为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
取AB的中点E，CD的中点F，连E、PF、EF，过点P作，易得平面PEF，平面ABCD，根据四棱锥的体积为，得到，进而得到，，，，，然后利用截面圆的性质求得外接球的球心再求半径即可.
详解：如图所示：
取AB的中点E，CD的中点F，连E、PF、EF，过点P作，垂足为H.
则、，有，，
所以平面PEF，
所以，又，
所以平面ABCD，
因为四棱锥的体积为，
所以，
解得，由，
得，，，，.
三角形PEF的平面图如下：
，N为EF的中点，由图可知四棱锥外接球的球心O为过点M的EP的垂线1和EF的中垂线的交点，
设四棱锥外接球的半径为R，，，，，.
故选：A
8、已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形， 、分别为、 中点，且，则球O的表面积为__________．
答案：
解析： 利用已知条件可知三棱锥是正三棱锥，结合可得面，即可知是等腰直角三角形，可得且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球.
详解：
由题意知为正三棱锥，取中点，连接 ，
所以 ， ，且 ，
所以平面
∴，
又 、分别为、 中点，易知,
由已知，
所以
，
所以面，
所以，即是等腰直角三角形，
因为斜边，所以且两两垂直，
则为以为顶点的正方体一部分，，
即
所以球O的表面积为．
故答案为：
9、已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 设点是点在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,则,则当互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可
【详解】
设点为的中点,则,
因为点在侧面内的射影是的垂心,所以,,
设点是点在底面的射影,则平面,所以一定在上,
因为,,所以,所以是底面的垂心,也是外心,
所以,
则当互相垂直时体积最大,
设球的半径为,则,所以,
所以球的体积为
故选:D
10、点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.
【详解】
根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，
由正弦定理知，外接圆的半径为．
设小圆的圆心为，
若四面体的体积有最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，
所以，与面垂直时体积最大，
最大值为，
，
设球心为，半径为，
则在直角中，，
即，
则这个球的表面积为：
故选：A．
11、如图，在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
详解：设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径.又平面，，所以，所以，所以.因为平面，，所以，，过D作，垂足为E，则平面，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即，时，“=”成立，所以三棱锥体积的最大值为.故选A.
12、已知直三棱柱中，，，若点M在线段上运动，则四棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 首先把三棱柱体转换为正方体，利用B、C、、在球面上，球心G在线段上，整理出关系式，且，然后利用勾股定理的应用建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果．
详解：将三棱柱补成一个正方体．
设四棱锥体外接球的球心为G，的中点为，
的中点为，的中点为O，如图所示，
则，，
由于B、C、、在球面上，所以球心G在线段上，
设，，，
则，在中，①
在中，②，
联立①②得，由于，
故，
故，
所以．
故选：C．
13、在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 由已知可得、都是边长为的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得为二面角的平面角，即，作出图形，找出三棱锥的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果.
详解：由于四边形是边长为的菱形，且，则，
所以，、都是边长为的等边三角形，
由于菱形的对角线互相垂直，则，，
所以，为二面角的平面角，即，
过点作平面的垂线，垂足为点，则点在线段上，
由，，可得，
且是等边三角形，所以，，
设的外心为点，的中点，
在平面内，过点、分别作平面、的垂线交于点，
则点为三棱锥的外接球的球心，则，，
，则，
由于、、、四点共圆，可得，
所以，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
