专题03：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈立体几何夹角距离问题（几何法）解析版

几何法求解空间角及点到面的距离
题型一、异面直线的夹角
1、在正方体中，与相交于点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 连结，，是异面直线与所成角或补角，由此利用余弦定理能求出结果.
详解：连结，∵，
∴是异面直线与所成角或补角，
设正方体中棱长为2，
则，，，
∴，
∴．
∴异面直线与所成角的大小为，
故选：A.

2、如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

【答案】
【解析】
取圆柱下底面弧的另一中点，连接，
则因为C是圆柱下底面弧的中点，
所以，
所以直线与所成角等于异面直线与所成角.
因为是圆柱上底面弧的中点，
所以圆柱下底面，所以.
因为圆柱的轴截面是正方形，
所以，所以直线与所成角的正切值为.
所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.
3、如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角 。

【答案】
【解析】是圆的直径，.
∵点是弧的中点，.
在中，分别为的中点，，
与所成的角为.故答案为：
4、如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 .

【答案】
【解析】如图，连接取其中点，连接，∵是中点，∴，
∴异面直线AN，CM所成的角就是（或其补角），
设正四面体的棱长为1，则，，
在中，
，
在中，．
异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．


二、线面角
1、面外一点P，两两互相垂直，过的中点D作面，且，连，多面体的体积是．

（1）画出面与面的交线，说明理由；
（2）求与面所成的角正切值．
答案：
（1）直线BC即为面与面的交线，理由见解析；（2）.
试题分析：（1）延长PE交AC于点F，可证F与C重合，故直线BC即为面与面的交线；（2）连接AE，则为所需求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则.
详解：（1）延长PE交AC于点F，直线BC即为面与面的交线，

理由如下：
，且平面ABC，平面ABC，平面ABC，
平面ABC，又平面，
，D为AC的中点，且，
平面，平面，，,
，，所以，
D为AC的中点，且，
，则F与C重合，
平面PBE，平面ABC，
是平面PBE与平面ABC的公共点，又B是平面PBE与平面ABC的公共点，
BC是平面PBE与平面ABC的交线；
（2）平面APC，平面APC，
平面APC，
，解得，
，
，
与面所成的角正切值为.
2、如图，在四棱锥中中，，，，，是正三角形.

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）证明：∵是正三角形，，
∴，
∴，∴，
∵，∴平面，
∴；

（2）设点E是的中点，连接，延长交于点H，连接.
∵是正三角形，∴，由（1）得平面，∴平面平面，
∴平面，
∴与平面所成角为，
∵，
∴
∴
∴与平面所成角的余弦值
3、等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
答案： （1）证明见解析；（2）存在，.
试题分析：（1）等边中，依题意可得，由余弦定理算出，从而得到，所以．结合题意得平面平面，利用面面垂直的性质定理，可证出平面；
（2）作于点，连接、，由平面得，所以平面，可得是直线与平面所成的角，即．设，分别在△、△和△中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得，解之得，从而得到在上存在点且当时，直线与平面所成的角为．
详解：证明：（1）因为，，．
由余弦定理得．
因为，
所以．折叠后有．
因为二面角是直二面角，
所以平面平面．
又平面平面，平面，，
所以平面．
（2）假设在线段上存在点，
使直线与平面所成的角为．
如图，作于点，连结、．
由（1）有平面，而平面，
所以．又，所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
设，则，
在中，，
所以．
在中，，．
由，得．
解得，满足，符合题意．
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，
此时．


三、 二面角
1、如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面平面且.

（1）求证：；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，所以，又因为，则平面平面，则.
（2）过作交于点，由（1）知，，所以平面，平面，则，所以为二面角的平面角.因为三角形为等边三角形，令，则，，则.

2、如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由题意，底面是正方形，.
底面，平面，.
，平面.
平面，.
又，点是的中点，，
，平面.
平面，；
（2）过引直线，使得，则，

平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱．
由条件知，，，已知，则平面．
由作法知，则平面，所以，，
就是平面与平面所成锐二面角的平面角．
在中，，平面与平面所成锐二面角的大小等于．
3、如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．

（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
答案：
（1）证明见解析；（2）．
试题分析：（1）根据菱形性质可知，根据线面垂直性质可得，由线面垂直的判定定理可知平面；由线面垂直性质可证得结论.
（2）作，由线面垂直的判定可证得平面，进而得到；根据二面角平面角的定义可知即为所求二面角的平面角；在中，利用长度关系求得结果.
详解：（1）连接

四边形为菱形，且
平面，平面
平面，平面
平面
（2）作，垂足为，连接

四边形为菱形，为等边三角形
又，
平面，平面
又，平面，平面
平面
二面角的平面角为
，为中点

二面角的余弦值为
4、如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.
（1）在棱上取一点使直线∥平面并证明；
（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为时，求二面角的余弦值.

答案：
（1）上取中点，证明见详解；（2）
试题分析：（1）找上取中点，由线线平行推证线面平行；
（2）根据线面角的大小找到棱长的等量关系，再根据三垂线定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.
【详解】
（1）在上取中点，在上取中点，连接，作图如下：

由于平行且等于，平行且等于，
所以平行且等于，
所以四边形是平行四边形，
所以∥.
直线，
，
所以∥平面.
（2）取中点，连接，
由于为正三角形
∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面，
连接，四边形为正方形。
∵平面，
∴平面平面
而平面平面
过作，垂足为
∴平面
∴为与平面所成角，

∴
在中，，
∴，
设，，，
∴，
∴
在中，，
∴
∴，，
过点H作HN垂直于CD，垂足为N，连接MN，HN

因为MH平面ABCD,则即为所求二面角的平面角,
在中，因为，HN=FC=，
由勾股定理解得
故
故二面角的余弦值为

四、 点到面的距离
1、在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上.

（1）若为的中点，证明：.
（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离.
答案：
（1）见解析；（2）
试题分析：（1）取的中点，连接，，根据，得到，由平面平面，得到平面，，再利用，得到，根据为的中点证明.
（2）由（1）得到，根据三棱锥的体积为，得到，再由等体积法求解.
详解：（1）如图所示：

取的中点，连接，，
因为，所以.
又因为平面平面，且相交于，
所以平面，
所以.
因为，所以，
所以，所以，
所以，且为的中点，
所以.
（2），
所以.
在中，，
设到平面的距离为，则，
解得.
所以到平面的距离为.
2、如图，在四面体ABCD中，，，，且．

（1）证明：平面平面BCD；
（2）求点D到平面ABC的距离．
答案：
（1）证明见解析；（2）.
试题分析：（1）取BD的中点E，连接AE，CE，易知AE⊥BD，而BD⊥AC，由线面垂直的判定定理与性质定理可分别得到BD⊥平面ACE，BD⊥CE；再在△ABD和△BCD中，通过勾股定理可求得AE＝CE＝4，从而推出AE⊥CE；最后由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证．
（2）由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，根据VA﹣BCD＝？S△BCD？AE可求得四面体ABCD的体积，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求得S△ABC，设点D到平面ABC的距离为h，由等体积法VD﹣ABC＝VA﹣BCD，求出h的值即可得解．
详解：（1）证明：取BD的中点E，连接AE，CE，∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵BD⊥AC，AE∩AC＝A，AE、AC平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，∵CE平面ACE，∴BD⊥CE．∵AB＝BC＝5，BE＝BD＝3，
∴AE＝＝4，CE＝＝4，∵AC＝，∴AC2＝AE2+CE2，即AE⊥CE，
∵AE⊥BD，CE∩BD＝E，CE、BD平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∵AE平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．

（2）在△BCD中，BD＝6，CE＝4，且CE⊥BD，∴S△BCD＝×BD×CE＝12.
由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，∴三棱锥A﹣BCD的体积VA﹣BCD＝？S△BCD？AE＝×12×4＝16，
在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，∴S△ABC＝×AC×＝.
设点D到平面ABC的距离为h，∵VD﹣ABC＝VA﹣BCD，∴×h×S△ABC＝VA﹣BCD，
即×h×＝16，解得h＝．故点D到平面ABC的距离为．
3、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
答案：
（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）连接BD交AC于点H，连接EH，可证出，进而得出平面即可；
（2）先证，又，所以可证平面，所以CF就是三棱锥的高，分别求得线段AE，EF，CF的长度，最后根据棱锥体积公式计算即可得解.
详解：（1）如下图，连接BD交AC于点H，连接EH，
因为点是的中点，点H是BD的中点，所以，
又平面，所以平面；

（2）因为，所以平面PAB，又平面PAB，所以，
因为，且是的中点，所以，且，
因为，所以平面，又平面，所以，
因为，且，所以平面，
在中，，，则，
因为，所以，
则，，
故三棱锥的体积为.
强化训练
1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.

【答案】
【解析】连接,则异面直线与所成角为与所成角即.
又,.
故，故答案为：

2．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为 。
【答案】
【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于.
取DD1中点F，则为所求角, .
3、如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）

A．平面
B．异面直线与所成的角为
C．异面直线与所成的角为
D．直线与平面所成的角为
答案： C
解析： 运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．
【详解】
对于A：因为，是，中点，所以，即平面，平面，故A正确；
对于B：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故异面直线与所成的角为，故B正确；
对于C：取边中点，连接，，如图：

则，所以为异面直线与所成角，又，
，，即，故C错误；
对于D：连接，可得，由面面垂直的性质定理可得平面，连接，可得为与平面所成角，由，则直线与平面所成的角为，故D正确.
故选：C.
4、已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，.则下列命题中正确的有（ ）

①平面平面PAE；
②；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；
⑤平面PAE.
A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤
答案： B
解析：
①要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；②由条件可知若，可推出平面，则，判断是否有矛盾；
③异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据，转化为求；④根据线面角的定义直接求解；⑤若平面，则，由正六边形的性质判断是否有矛盾.
详解：∵平面ABC，∴，在正六边形ABCDEF中，
，，∴平面PAE，且面PAB，
∴平面平面PAE，故①成立；
由条件可知若，平面，则，，可推出平面，则，这与不垂直矛盾，故②不成立；
∵，直线CD与PF所成角为，
在中，，
∴，∴③成立.
在中，，
∴，故④成立.
若平面，平面平面 则，这与不平行矛盾，故⑤不成立.
所以正确的是①③④
故选：B
5、如图，矩形中，，E为边的中点，将沿直线翻转成（平面）.若M、O分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）

A．与平面垂直的直线必与直线垂直；
B．异面直线与所成角是定值；
C．一定存在某个位置，使；
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值；
答案： C
解析：
对A，由面面平行可知正确；对B，取的中点为，作出异面直线所成的角，并证明为定值；对C，利用反证法证明，与已知矛盾；对D，确定为三棱锥的外接球球心，即可得证.
详解：取中点，连接.为的中点，

.
又为的中点，且，
∴四边形为平行四边形，
.，
∴平面平面平面，
∴与平面垂直的直线必与直线垂直，故A正确.
取的中点为，连接，

则且，
∴四边形是平行四边形，
，
为异面直线与所成的角.
设，则，，
，
故异面直线与所成的角为定值，故B正确.
连接.为等腰直角三角形且为斜边中点，
.若，则平面，

又，
.
又平面，
，与已知矛盾，故C错误.
，
为三棱锥的外接球球心，又为定值，故D正确.
故选：C
6、如图，在长方体中，，，，是棱上的一条线段，且，是的中点，是棱上的动点，则

①四面体的体积为定值
②直线到平面的距离为定值
③点到直线的距离为定值
④直线与平面所成的角为定值
其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答案： A
解析：
根据锥体体积公式说明高与底面面积均为定值，即可判断①；根据定直线与定平面关系可判断②；根据两平行直线关系可判断③；分别计算在端点时直线与平面所成的角，即可判断④.
详解：因为,所以平面即为平面，
因此到平面的距离（设为）等于到平面的距离，即为定值；
因为,所以到直线的距离等于直线到直线的距离, 为定值；
因此③正确；
而，所以面积为定值，
因此四面体的体积等于,为定值，即①正确；
因为,所以直线与平面（即平面）平行，
从而直线到平面的距离等于定直线与定平面之间距离，
为定值，即②正确；

当与重合时，过作交延长线于,
则由长方体性质得平面,即得,
因为平面,
从而平面,
因此为直线与平面所成的角，
，
当与重合时，因为平面，
所以到平面的距离相等，
过作，
则为点到到平面的距离
连,则为直线与平面所成的角，
,即④错误；
故选：A
（多选）7、如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
答案： BC
解析： 对A，可以举出反例；对B、C通过证明与计算可得；对D，可利用反证法；
详解：如图所示：

对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；
对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，
所以，故B正确；
对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；
对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；
故选：BC.
（多选）8、如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（ ）

A．与所成的角为45°
B．平面
C．平面平面
D．对于任意的点，四棱锥的体积均不变
答案：
BCD
解析：
由异面直线所成角的定义计算即可判断A；根据平面平面即可判断B；根据平面即可判断C；根据可判断D.
详解：连接，∵，∴为与所成角，
设正方体棱长为1，则，
∴，故A错误；
∵平面平面，平面，
∴平面，故B正确；
连接，则，
∵平面，∴，
又，∴平面，又平面，
∴平面平面，故C正确；
设正方体棱长为1，则，
故三棱锥的体积均不变，故D正确；
故选：BCD.

9、如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；
②线段的长为；
③异面直线与所成角的正切值为；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.
其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号）
答案： ①②④
解析： ①平面，则可判断；②通过线段相等，可求出线段的长；②异面直线与所成角为，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而得到正确结论的序号.
详解：如图，取的中点为，的中点为，连接，，，，
则四边形为平行四边形，直线平面，所以①正确；

，所以②正确；
因为，异面直线与的所成角为，
，所以③错误；
当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，
可计算出，，，所以，
同理，
所以三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，④正确.
故答案为：①②④.
10、在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：
①三棱锥的三条侧棱长均相等；
②的取值范围是；
③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；
④若，是线段上一动点，则的最小值为.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案： C
解析：
作出三棱锥的图象，逐一判断各命题，即可求解．
详解：作出三棱锥的图象，如图所示：．
对于①，根据题意可知，平面，且，所以，①正确；
对于②，在中，，而，所以
，
即的取值范围是，②正确；
对于③，因为，
所以三棱锥外接球的球心为，
半径为，其体积为，③不正确；
对于④，当时，，所以，
将平面沿翻折到平面上，
则的最小值为线段的长，
在展开后的中，，
根据余弦定理可得，
④正确．
故选：C．

11、如图，M，N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC？CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论：

①异面直线AC与BD所成的角为定值．
②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°．
④三棱锥体积的最大值为．
以上所有正确结论的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案： C
解析：
证得，由此判断①正确；证得，由此判断②错误；当平面与平面垂直时，求得直线与平面所成的角、三棱锥体积的最大值，由此判断③④的正确性.
详解：设，
①，折叠前，根据正方形的性质可知，
折叠过程中成立，而，所以平面，所以，所以异面直线与所成角为定值，所以①正确.
②，折叠前，，折叠过程中成立，假设，而，所以平面，所以.折叠过程中，在三角形中，，所以，这与矛盾，故假设不成立，所以②错误.
③，在折叠过程中，当平面平面时，由于平面平面，，根据面面垂直的性质定理可知平面，所以是直线与平面所成的角，且.在中，所以三角形是等腰直角三角形，所以.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，所以直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.所以③正确.
④，在折叠过程中，三棱锥中，三角形的面积为定值，即.所以当到平面的距离最大时，三棱锥的体积取得最大值.当平面平面时，到平面的距离最大.此时，过作交于，根据面面垂直的性质定理可知平面.由于，所以是等腰直角三角形，所以.
所以三棱锥的体积的最大值为.所以④正确.
综上所述，正确的结论有个.
故选：C

12、直角中，，D为BC边上一点，沿AD将折起，使点C在平面ABD内的正投影H恰好在AB上，若，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 由平面ABD，可得，从而可求出的长，过作，则可得，为二面角的平面角，而，然后在和分别求出，即可求得结果.
详解：解：如图，过作，垂足为，连接，
因为平面ABD，所以，，
所以平面，所以，
所以，为二面角的平面角，
因为，若设，则，
在中，， ，则，
在中，，
在中，，
在中，由得，，
解得，
所以，
所以,
故选：A


13、如图，已知四棱锥，底面为菱形，，侧面为边长等于2的正三角形，侧面与底面所成的二面角为．

（1）求四棱锥的体积；
（2）求面与面所成二面角的正切值．
答案：
（1）4；（2）.
试题分析：（1）过点P作平面，垂足为点O，连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE，AC，BD，AC交BD于点F，易得和，为面与面ABCD所成二面角的平面角，然后分别求得点P到平面ABCD的距离和菱形ABCD的面积，最后套用棱锥体积公式计算即可得解；
（2）取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，易得是所求二面角的平面角，先求得，再根据计算的值即可.
详解：（1）如图，过点P作平面，垂足为点O，连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE，AC，BD，AC交BD于点F，

∵，∴，∵，∴，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以，
由此知为面与面ABCD所成二面角的平面角，
∴，，
由已知可求得，
∴，
即点P到平面ABCD的距离为，
又，由题知，在中可得，
所以，，
所以；
（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，

则，，，
∵，∴，，
∴是所求二面角的平面角，
∵面，∴，
又∵，∴，且，
在中，，，
于是，
又，
所以.
14、在平行四边形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使AB⊥DC，连接AC，得到三棱锥A﹣BCD.

(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.
答案： (1)证明见解析；(2)60°.
试题分析：（1）通过证明AB⊥平面BCD，得面面垂直；
（2）取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，证明∠DFE为所求二面角，即可计算求解.
【详解】
(1)证明：∵AB=1，AD，且∠BAD=45°，
∴BD=1，则AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，
又AB⊥DC，BD∩DC=D，且都在平面BCD内，
∴AB⊥平面BCD，
∵AB在平面ABD内，
∴平面ABD⊥平面BCD；

(2)取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，
∵BD=CD=1，
∴DE⊥BC，
∵AB⊥平面BCD，DE？平面BCD，
∴AB⊥DE，
∵AB∩BC=B，且都在平面ABC内，
∴DE⊥平面ABC，
∵AC？平面ABC，
∴AC⊥DE，
又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF内，
∴AC⊥平面DEF，
∴∠DFE为所求二面角，
在Rt△DEF中，∠DEF=90°，，，
∴，
∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小为60°.
15、已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.

（1）求证:;
（2）求与平面所成角的正弦值;
（3）求二面角的大小.
答案： （1）答案见解析（2）（3）
解析：
（1）推导出,从而平面,进而,由此能证明平面,即可求得答案;
（2）由（1）可得:平面,所以为与平面所成角,求出长,即可求得答案;
（3）连结,交于点,,从而平面平面,进而平面,过作于点,连结,则,则为二面角的平面角,即可求得答案.
【详解】
（1）取中点为,连接

,

底面是直角梯形,
∥,即∥
又
四边形是平行四边形

可得,中点为,
根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且

又平面


平面


平面

（2）由（1）可得:平面
为与平面所成角
为直角三角形,,
又 ,
为等腰直角三角形

在中,

与平面所成角的正弦值.
（3）连结,交于点,,如图:

平面,
平面平面,
平面
过作于点,连结,则,
为二面角的平面角,
在中,
在中,
在中,

二面角的大小为.
16、如图1，平面四边形中，，为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥

（1）证明：平面平面；
（2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
答案：
（1）见解析（2）
试题分析：（1）证明平面，平面平面即得证；（2）先由题可知即为直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，再解三角形求解即可.
详解：（1）证明：在三棱锥中，
因为，，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，为中点，
所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知即为直线与平面所成的角，
所以，
故；
由（1）知平面，
过作于，连接，
由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
由，得，
即
得，
所以，
故，
所以二面角的余弦值为．

17、如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
答案： （1）见解析（2）
试题分析：（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可以证明.（2）根据棱锥的特性可知，过作于点，连接，则，所以为二面角的平面角.由三棱锥的体积可求出顶点到底面的距离，根据二面角的余弦值可计算出正弦值，进而计算的长，通过勾股定理可知边、的长，再通过三角形面积相等计算和的值，从而通过余弦定理计算所求.
详解：（1）为等边三角形，为的中点，所以有，又平面平面，平面平面，，所以平面（面面垂直的性质定理），又平面，所以平面平面（线面垂直的判定定理），得证.
（2）因为，，，所以
过作于点，连接，则，所以为二面角的平面角.即即为所求.
设三棱锥的高为，则有，得.
由（1）可知，为二面角的平面角，所以，则，则，所以.
由余弦定理可得：，.
在中，由余弦定理可知：，
则有，所以，同理，又，所以由余弦定理可知.

18、在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，E为线段BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知，且二面角A－BD－P的大小为，求AD与平面BDP所成角的正弦值.
答案：
（1）证明见解析；（2）.
试题分析：（1）根据几何特征，先证平面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据已知条件，作出辅助线找到线面角，再解三角形即可求得结果.
详解：（1）证明：依题意△ABC为等边三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC
又PB＝PC，∴PE⊥BC，而
平面，
∴BC⊥平面PAE，又BC平面PBC，
∴平面PAE⊥平面PBC
（2）由（1）知BC⊥PA，又PA⊥AB，AB∩BC＝B
∴PA⊥平面ABCD，平面，则，
连接AC，设AC∩BD＝M

由菱形ABCD知，AC⊥BD，，平面，
∴BD⊥平面PAM，
∴∠PMA为二面角A—BD—P的平面角，且∠PMA＝
∴AM＝PA，不妨设菱形ABCD边长为2，∴AM＝PA＝1，AD＝2
由BD⊥平面PAM，BD平面PBD知平面PAM⊥平面PBD且交线为PM
过A作AN⊥PM，N为垂足，
∴AN⊥平面PBD
∴∠ADN为直线AD与平面PBD所成角，
在Rt△APM中AN，
在Rt△ADN中，
AD与平面PBD所成角正弦值为.
19、矩形中，，，E、F分别为线段、上的点，且，现将沿翻折成四棱锥，且二面角的大小为.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：
（1）证明见解析；（2）.
试题分析：（1）连接，根据四边形为正方形，可得，，然后根据线面垂直的判定定理可得面，最后可得结果.
（2）根据二面角的大小为，计算点F到平面的距离，然后根据，计算点到平面的距离，同时计算，最后计算即可.
详解：（1）由题意在矩形中，，，
∴四边形为边长为2的正方形.
连结，交于点M，如图

则，且.
在四棱锥中，，，
∴面，又面，
∴
（2）设点F到平面的距离为，点到平面的距离为
由（1）就是二面角的平面角，∴.
∵面，∴面面，
过F作于H，∵面面，∴面.
又∵在中，，∴，，
∴，∵，∴.
由题意可得，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.

20、在平行六面体中，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线AC与平面所成角的大小.
答案：
（1）证明见解析；（2）
试题分析：（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；
（2）作出线面角的平面角，再求正弦值，即可得答案；
详解：（1）四边形为菱形，，
又，，，
，平面，
平面，平面平面；
（2）设交于点，连结，
则为直线AC与平面所成角，
设，则，
，

，
直线AC与平面所成角的大小为.

21、如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；
（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.
答案：
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.
试题分析：（1）由平面平面，可得平面，从而证明；
（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，确定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.
详解：（1）由平面平面，平面平面，
且，所以平面，
又平面，所以；
（2）依题意都在平面上，
因此平面，平面，
又平面，平面，
平面与平面平行，即两个平面没有交点，
则与不相交，又与共面，
所以，同理可证，
所以四边形是平行四边形；
（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，

由，，，
所以平面，则平面，又，
根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，
若，则是等腰直角三角形，，
又，
所以中，由大角对大边知，
所以，这与上面相矛盾，
所以二面角的大小不能为.
22、如图，在四棱锥中，平面，，，且，，

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
答案：
（1）证明见解析；（2）存在，.
试题分析：（1）利用直角梯形的性质求出，的长，根据勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；
（2）假设存在点，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出到平面的距离从而确定的位置，利用棱锥的体积求出到平面的距离，根据勾股定理计算，则即为所求角的正弦值．
详解：解：（1）如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由已知，
可得是等腰直角三角形，即，
又平面ABCD，则，
所以平面PAC，
所以．
（2）假设存在符合条件的点，过点作于，则，
平面，．
过点作于，连接，则平面，
，即是二面角的平面角．
若，则，又，
，即是线段的中点．
存在点使得二面角的大小为．
在三棱锥中，，
设点到平面的距离是，则，
，，
，解得．
在中，，，，，
，
与平面所成角的正弦值为．

23、在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．

（1）求证：平面ADE；
（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．
答案：
（1）见解析（2）.
试题分析：（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.
（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.
详解：解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，

所以，
又，
所以均为等边三角形.
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.
因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.
又因为平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE.又平面，
所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.
（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，
所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即
因为AB为圆的直径，所以，
在，
所以，所以在
因为，又因为，所以平面FBC，
又平面FBC，所以.
在内，作于点H，连接AH.

因为平面ACH，所以平面ACH，
又平面ACH，所以，
所以就是二面角的平面角.
在，在，
所以，所以，
所以二面角的余弦值为.

24、如图，在中，，点在线段上，过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得．

（1）求证：平面平面；
（2）试问：当点在何处时，四棱锥的侧面的面积最大？并求此时四棱锥的体积及直线与平面所成角的正切值．
答案：
（1）证明见解析；（2）为的中点，，.
试题分析：（1）在三角形中，由且，得，进而证明平面，从而证得；
（2）设，则，则，由基本不等式确定当为等边三角形时，侧面的面积最大，作于，根据已知条件确定平面时，从而得到就是与平面所成角，通过计算可得四棱锥的体积及直线与平面所成角的正切值.
详解：（1）证明：∵且，
∴，即．又，
∴平面，又平面，平面平面，

（2）设，则．
∴．
当且仅当时，的面积最大，此时，，此时为的中点，
由（1）知平面，平面平面．
在平面中，作于，则平面．即为四棱锥的高．
又．
∴
∵，∴，在中，
．∵平面，
∴就是与平面所成角．∴，
故直线与平面所成角的正切值为.