2021高考数学（理）模拟试卷四

考试时间：120分钟    总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．复数的模是（    ）A．1 B． C．2 D．3．已知命题，；命题，，则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．4．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（    ）A．1 B．2 C．3 D．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（    ）A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.66．设，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（    ）A． B． C． D．8．若，为锐角，且满足，，则的值为（    ）A． B． C． D．9．已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（，且），则（    ）．A． B． C． D．10．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．正方体中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（    ）A．椭圆的一部分  B．线段C．抛物线的一部分  D．圆弧12．己知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则________．14．已知，满足，则的最大值为________．15．在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为________．16．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为________．三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列的前项和为，且，，数列满足，点在直线上，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（，为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4根据所给统计量，求关于的回归方程．附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，．19．（本题12分）如图，在以为顶点的圆锥中，母线长为，底面圆的直径长为2，为圆心．是圆所在平面上一点，且与圆相切．连接交圆于点，连接，，是的中点，连接，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（本题12分）已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于，两点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点作切线交椭圆于，两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．21．（本题12分）已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若曲线在处的切线与曲线也相切．求实数的值；（2）设，求证：当时，恰好有2个零点．（22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的普通方程；（2）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，，直线与曲线交于，两点，求线段的长度．23．（本题10分）已知函数，为不等式的解集．（1）求；（2）证明：当，时，．g