重庆市万州新田中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试卷（含答案）
展开高2023届2020年秋季第二次月考
数 学 试 题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定形式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5.若函数对于任意实数x恒有,则等于( )
A. B. C. D.
6.正实数满足,则的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
7.已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0 c．等于0 D．无法判断
8．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是； ②的值域是；③是奇函数； ④是区间上的增函数．其中推断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。 全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
9.已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法不正确是（ ）
A．不等式的解集为
B．已知，，则是的充分不必要条件
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，设,用符号表示不超过的最大整数，如，，称函数叫高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A． B．
C．函数值域为 D．
12.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，当时，都有；
③．则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．,,使得
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. _____________ .
14.已知函数则_____________ .
15．已知函数是定义在R上的增函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）分别计算下列数各式的值.
18. （本题满分12分）已知集合，
（1）若，求实数的值：
（2）若，求实数的取值范围。
19．（本题满分12分）已知定义在上的函数
（1）试判断当x∈时函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）解关于的不等式.
20. （本题满分12分） 2005年8月15日，习近平主席到安吉天荒坪镇余村考察时，首次提出“绿水青山就是金山银山”。各级政府积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，打造生态农业、生态工业、生态旅游等。某乡镇因地制宜的打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量M（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
21．（本题满分12分）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.
（1）求的解析式；
（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，求的最大值.
22．（本题满分12分）对于定义域为D的函数，如果存在区间⊆D，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是；
则称是该函数的“美好区间”．
（1）判断函数是否存在“美好区间”， 若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）已知函数 有“美好区间”，当变化时，求出的最大值．
高2023届2020年秋期第二次月考
数学试题答案
一、选择题
1-8 ADCDA BAC 9.BD 10.ACD 11.ABD 12.BCD
二、填空题
13. 14.-1 15. 16. m<
三、解答题
17.解析：（1）原式＝；-------
（2）因为x2﹣x﹣2＝（x+x﹣1）（x﹣x﹣1）＝4（x﹣x﹣1），
所以（x﹣x﹣1）2＝（x+x﹣1）2﹣4＝12，因为0＜x＜1，所以，
所以， --------------------------------
又因为，所以 ，
所以． -----------------------------
18.解：由题意知不等式等价于：
解得，
即．----------------
∵ ，∴ ，解得，-----------
此时，，满足题意，
∴ 实数的值是．---------------------------
由知，①当时，
，解得，满足题意；--------------------
②当时， 解得 ．----------
综上，实数的取值范围是． ----------------
19解：（1）f（x）在（﹣1，1）上为增函数； ---------------
证明：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，----
又由﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
故f（x）在（﹣1，1）上为增函数； ----------------
（2），定义域为（-1,1）关于原点对称
---------------
------------
又由在（﹣1，1）上为增函数，
则，解可得：﹣1＜x＜0或0＜x＜， -------
故x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，）．---------------
20.解：（Ⅰ）由已知-----------
-----------
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当时，；--------------------
当时，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．-----------
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．--------
21.解析：（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，--------------------
又，则二次函数图象的顶点坐标为，
设，则，--------------------
因此，；--------------------
（2），--------------------
对称轴为直线，
当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，则，
得，此时；-----------------
当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，， ，
则，整理得，解得，
此时，；-------------------
当时，即当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，，
，整理得，解得，
此时；-------------------
当时，即当时，.函数在区间上单调递减，，，M-m=-2b,,此时
综上所述，，则实数的最大值为.------------
22解：（1）函数不存在美好区间．--------
假设存在美好区间[m，n]，
函数的定义域为
f（x）＝
由“美好区间”的定义可知:
1）当m，n∈（0，）时，f（x）＝﹣2在（0，）上为减函数，
故有 ，即，此时实数m，n的值不存在．------------
2）当m，n∈[，+∞）时，f（x）＝2﹣在∈（，+∞）上为增函数，
故有，即由此可得m，n是方程x2﹣2x+1＝0的根，但方程有两个相等实根，所以此时不成立．----------------
3）当m∈（0，），n∈（，+∞）时，显然∈[m，n]，而f（）＝0∈[m，n]不可能，此时m，n也不存在；
综上所述，适合条件的实数m，n不存在，即函数不存在美好区间．-----
（2）∵设[m，n]是 （x≠0）的美好区间，
[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），-------------
故函数＝﹣在[m，n]上单调递增．
由[m，n]是函数h(x)的“美好区间”，则，----------
故m、n是方程﹣＝x，即a2x2﹣（a2+4a）x+5＝0的同号的相异实数根．
∵mn＝＞0，∴m，n同号，只须△＝a2（a2+8a﹣4）＞0，
即a＞﹣4+或a＜﹣4﹣ 时，已知函数有“美好区间”[m，n]，---
∵n﹣m＝＝，
∴当a＝1时，n﹣m取最大值．------------------
