北京市朝阳区2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)
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高三数学试卷2020.11
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡
(1)已知集合,则A∩B=
(A){-1,0,1} (B){-1,0,1,2} (C){0,1,2} (D){0,1,2,3}
(2)已知则sin2x=
(3)已知则
(A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)c>b>a
(4)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若则
(A)3a-2b (B)a-2b (C)-a+2b
(5)“lna>lnb”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)已知函数的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π,则f(x)的图象的一条对称轴是
(7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且则
(A)-12 (B)-9 (C)9 (D)12
(8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时,则
(B)1
(9)已知函数若存在实数m,使得成立,则实数a的取值范围是
(A)[-1,+∞) (B)(-∞,-1]∪[3,+∞) (C)[-1,3] (D)(-∞,3]
(10)已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是
第二部分(非选择题共110分)
二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡
(11)已知向量a=(3,1),b=(t,2),若a//b,则实数t=________.
(12)已知x>0,y>0,xy=1,则x+4y的最小值为________,此时x的值为________.
(13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示,则a=_____;
实验表明,当房间中该药物含量不超过时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
(14)设是公差为d的等差数列,为其前n项和.能说明“若d>0,则数列为递增数列”是假命题的一组和的值为________.
(15)公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一,他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形,已知点B在以线段AC为直径的圆O上,D为弧BC的中点,点E在线段AC上且AE=AB,点F为EC的中点.设OA=给出下列四个结论:
②AB=2rsinα;③CF=r(1-cosα);
其中,正确结论的序号是________.
注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.
三､解答题共6小题,共85分｡解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程｡
(16)(本小题13分)
已知函数
(I)求及f(x)的最小正周期;
(II)若求f(x)的值域.
(17)(本小题13分)
已知是等差数列,是各项都为正数的等比数列,再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.
(I)求数列的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
条件①:条件②:条件③:
(18)(本小题14分)
在△ABC中,AB=2,AC=3.
(I)若B=60°,
(i)求BC;
(ii)设D是边BC上一点,且∠ADC=120°,求sinC;
(II)若AE是△ABC的内角平分线,求AE的取值范围.
(19)(本小题15分)
已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).
(I)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(II)若不等式对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
(20)(本小题15分)
已知函数b∈R).
(I)当a=1,b=0时,判断函数f(x)在区间内的单调性;
(II)已知曲线在点处的切线方程为
(i)求f(x)的解析式;
(ii)判断方程1在区间(0,2π]上解的个数,并说明理由.
(21)(本小题15分)
已知数列是无穷数列,其前n项和为若对任意的正整数m≥2,存在正整数k,l(1≤k≤l)使得则称数列是“S数列".
(I)若判断数列是否是“S数列”,并说明理由;
(II)设无穷数列的前n项和且q>2,证明数列不是“S数列";
(III)证明:对任意的无穷等差数列存在两个“S数列"和使得成立.
