新课标高中数学必修三《《概率》全章节复习与巩固 （理）

这是一份新课标高中数学必修三《《概率》全章节复习与巩固 （理），共25页。
新课标高中数学必修三《《概率》全章节复习与巩固
【学习目标】
1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用.
4.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
6.了解正态分布的有关概念.
【要点梳理】
要点一、离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母等表示。
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；
若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
2．离散性随机变量的分布列：
设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,…,x3,…,若取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为，则称表

x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
（1）pi≥0,i=1,2…；
（2）P1+P2+…=1
3．如果随机变量X的分布列为

1
0
P



称离散型随机变量服从参数为的两点分布。
要点二、超几何分布
在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：
，
其中，，称分布列

0
1
…





…

为超几何分布列。
离散型随机变量X服从超几何分布。
要点三、独立性
1.条件概率的概念
设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号表示。
要点诠释
在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．
2.条件概率的公式
①利用定义计算
先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式求解．
②利用缩小样本空间的观点计算
在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而，
即：，
此法常应用于古典概型中的条件概率求解．
3.事件的独立性
事件、满足，则称事件、独立。
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。
4．相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。
（1）若与是相互独立事件，则；
（2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：。
要点四、二项分布
1.n次独立重复试验
每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。
要点诠释：
在次独立重复试验中，一定要抓住四点：
①每次试验在同样的条件下进行；
②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；
③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；
④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
2.独立重复试验的概率公式
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
（k=0，1，2，…，n）．
令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。
3.二项分布
在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是
，（）．
于是得到离散型随机变量的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P


…

…

由于表中第二行恰好是二项展开式
中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．
要点诠释：
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：
其一是独立性，即每次试验的结果是相互独立的；
其二是重复性，即试验独立重复地进行了n次；
其三是试验的结果的独特性，即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。
要点五、随机变量的均值和方差
1.离散型随机变量的期望
一般地，若离散型随机变量的概率分布为



…

…
P


…

…
则称……为的均值或数学期望，简称期望．
要点诠释：
（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．
（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
2.离散型随机变量的方差与标准差
方差：已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数
＋＋…＋叫做这组数据的方差。
离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为



…

…
P


…

…
则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．
的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．
3.常见分布的期望与方差
二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则
期望；方差
二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则
期望；方差
几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。
若离散型随机变量服从几何分布，且则
期望 方差
超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望
要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。
要点六、正态分布
1．概率密度函数
对于连续型随机变量，位于轴上方，落在任一区间（a，b]内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做的概率密度曲线，以其作为图象的函数叫做的概率密度函数。

正态变量的概率密度函数表达式为：，（）
其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.
2．正态分布
如果对于任何实数随机变量满足：，
则称随机变量服从正态分布。记为。
若，则的期望与方差分别为：，。
3.正态密度曲线
如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

4．正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。

⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。

【典型例题】
类型一、概率分布的性质
例1、若离散型随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
p
9c2-c
3-8c
试求出常数c与ξ的分布列。
举一反三：
【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
【变式2】随机变量的分布列如下：








其中成等差数列，若，则的值是 ．
类型二：有关超几何分布问题
例2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
举一反三：
【变式1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
【变式2】某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1对B1


A2对B2


A3对B3


现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，
（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ、Eη。
类型三、条件概率
例3．5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率
举一反三：
【变式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？
【变式2】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。
类型四、二项分布
例4、某人参加射击，击中目标的概率是。
①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；
②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；
③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。
举一反三：
【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．
【变式3】某运动员射击一次所得环数的分布如下：

6
7
8
9
10

0




现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率；
(II)求的分布列；
类型五、正态分布
例5. 如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
举一反三：
【变式1】如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。

【巩固练习】
一、选择题
1. 抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（　）
A. 两颗都是2点 　B.一颗是3点，一颗是1点
C.两颗都是4点 　D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
2. 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（ ）
A.　 　　　　　 B.
ξ
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
ξ
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1


ξ
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
C. 　　　　　 D.
ξ
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
3. 已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，…，则P（2