专题13 圆锥曲线与方程（单选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题13 圆锥曲线与方程（单选题）
1．方程所表示曲线的大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三 一轮复习联考（一） 理数全国卷III试题
【答案】A
【分析】取，解得，令，解得，故排除C、D选项，又函数图象不是圆，从而得出答案．
【解析】令，解得，令，解得，故排除C、D选项；
易知该函数图象不是圆，排除B选项，又点满足条件，故选A．
2．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6 B．8
C．9 D．10
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】C
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．
【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，
可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．
3．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【试题来源】江西省新余市第四中学2021届高三上学期第一次段考（理）
【答案】C
【分析】将题干中的等式变形为，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点的轨迹的形状．
【解析】设点，由可得出，
由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线．故选C．
4．已知双曲线的方程为，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（ ）
A．1 B．
C． D．2
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（二）（文）
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解析】由题意知，双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，
即，所以点到渐近线的距离，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考（理）
【答案】A
【解析】设内切圆的半径为，
则，，·
因为，所以
整理得．因为为椭圆上的点，所以，．故选
【名师点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键．
6．双曲线的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】D
【分析】求出的值，结合双曲线焦点的位置可求得该双曲线的焦点坐标．
【解析】在双曲线中，，，则，
由双曲线的标准方程可知，该双曲线的焦点在轴上，
因此，双曲线的焦点坐标是，．故选D．
7．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为
A． B．2
C．或2 D．或
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】A
【分析】由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．
【解析】因为1，m，9构成一个等比数列，所以m2=1×9，则m=±3．
当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；
当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．
【名师点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．
8．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（文）
【答案】A
【分析】由题得渐近线的倾斜角为，所以化简即得解．
【解析】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以所以．故选A
9．以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】A
【分析】由题意，在正三角形中得到基本量间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为，故可求出的值，从而可椭圆的方程
【解析】因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，
所以，因为椭圆上的点到焦点的最短距离为1，
所以，所以，所以椭圆的方程为，故选A
10．已知点为椭圆上的任意一点，为原点，满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省汉中市洋县第一中学2019-2020学年高二上学期期中
【答案】B
【解析】设点坐标为，则有，，根据，
可得：，代入椭圆方程可得：，故选B．
11．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试（理）
【答案】A
【解析】如图，延长与交于点，则是的角平分线，

由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，则为的中位线，故，
由于，所以，所以，
问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为
，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，故选A．
12．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（文）
【答案】A
【解析】由题意可得：，所以，得，
所以．故选A．
13．设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市延庆区2021届高三上学期统测考试
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，
将代入抛物线方程得，所以．故选C
14．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考（理）数学全国卷III试题
【答案】B
【分析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得．
【解析】依题意可得，设，
由得，
所以，，所以，，
因为为抛物线上一点，所以，解得．故选B．
15．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】D
【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于
由抛物线的定义可得：，结合可知：，
即，据此可知抛物线的方程为．本题选择D选项．
16．抛物线的焦点坐标为( 　)
A．(，0) B．(0，)
C．(，0) D．(0，)
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】D
【解析】根据抛物线标准方程的焦点坐标为知，
的焦点坐标为．故选D．
17．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期9月调研（理）
【答案】A
【分析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．
【解析】抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，
点关于准线的对称点为，连接，
则，于是
故的最小值为．故选A．

18．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则以线段为直径的圆一定（ ）
A．经过原点 B．经过点
C．与直线相切 D．与直线相切
【试题来源】北京市2021届高三入学定位考试
【答案】C
【解析】设，，利用焦半径公式可得：，
又，所以到直线距离为，
所以以线段为直径的圆一定直线相切．故选C．
19．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点．若，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省本溪市2019-2020学年高二（下）验收
【答案】D
【解析】依题意，点的坐标为，设点在准线上的射影为，如下图所示：
由抛物线的定义知，由，则．
，，，解得．故选D．

20．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2＝4y B．y2＝4x
C．x2＝8y D．y2＝8x
【试题来源】北京市西城区2020届高三数学二模试题
【答案】D
【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，
设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，
故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选D．
21．斜率为的直线l过抛物线的焦点F，若l与圆相切，则（ ）．
A．12 B．8
C．10 D．6
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二）
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，设直线l方程为，即，因为l与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得．故选A．
22．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（ ）
A．2 B．
C． D．4
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三（上）模拟命题大赛（文）
【答案】A
【解析】根据题意，抛物线：的焦点为，设，则，，，，故选A．
【名师点睛】抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点；一个定点（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值1（点与定点的距离和它到定直线的距离之比等于1），常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化．
23．已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（（理））考试四试题
【答案】B
【解析】过点作于，因为，由抛物线的定义得，
所以在中，，所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选B．

24．已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（ ）
A．3 B．6
C．8 D．12
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】B
【解析】由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以．故选B
25．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试试题
【答案】A
【解析】过向轴作垂线，设垂足为，因为，，
所以，，，将点的坐标代入，得，
故的方程为．故选A
26．双曲线（）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考（理）
【答案】C
【解析】双曲线（）的一条渐近线方程为，圆的方程为，即，圆心为，半径为，因为双曲线的渐近线与圆相切，得，化简得，离心率．故选C
27．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】B
【解析】因为双曲线，所以焦点在y轴上，，
所以双曲线的渐近线方程为，即，故选B
28．已知双曲线，则是双曲线C的离心率大于的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【解析】因为双曲线，若，则，，，所以，故充分性成立；
若，则，，，
所以，故必要性不成立；
故是双曲线C的离心率大于的充分不必要条件，故选A
29．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，
因为渐近线过点，所以，所以，
所以，故选C
30．已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）
【答案】D
【解析】由已知得M为的重心，所以，
又，所以，即．故选D．
31．设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二试题
【答案】D
【解析】因为，所以，设，则，
因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故选D
32．圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（（理））考试四试题
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，因为圆上有且仅有两点到的距离为1，
所以圆心到的距离的范围为即，
而，所以，即，故选C．
33．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三（10月）第二次双基检测（文）
【答案】D
【解析】因为，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，
所以，，因为，，所以，
所以为最小边，的最小内角，
由余弦定理可得，，
即，，，
所以．故选D．
34．已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，则的最大值是（ ）
A．9 B．16
C．25 D．27
【试题来源】湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】C
【解析】由题意，，
，当且仅当时等号成立，
故选C．
35．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】C
【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以即，
所以，故选C．
36．已知抛物线的准线与椭圆相交的弦长为，则
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，设其与椭圆相交于，两点，，
不妨设，根据对称知，代入椭圆方程解得或（舍去），
，故选C．
37．椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则（ ）
A． B．
C． D．4
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】C
【解析】，所以当时，，而，所以，故选C．
38．已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】A
【解析】设另一个焦点为，则由题意可知，
且，，
所以．故选A．
39．已知椭圆方程为的一个焦点是，那么（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】A
【解析】椭圆 即，焦点坐标为，，
，，故选．
40．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试（理）
【答案】C
【解析】设所求椭圆方程为，
将点代入，可得，解得（舍去），
故所求椭圆的标准方程为．故选C
41．“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】B
【分析】先根据曲线表示椭圆得，再根据集合关系判断必要不充分条件即可得答案．
【解析】由曲线表示椭圆得：，解得，
由于，”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．
42．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上的动点，，的最小值为1，则的焦距为（ ）
A．10 B．8
C．6 D．4
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】B
【解析】由已知得，解得，所以焦距为8．故选B
43．若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A． B．
C．6 D．8
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知
根据椭圆的定义可知，，
的周长为．故选B
44．已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳县修远中学、泗洪县洪翔中学2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】A
【解析】设点，中点，因为点是中点，所以，则，又因为点满足椭圆方程，所以，
所以，化简得：，所以满足，
所以中点的轨迹方程为，故选A．
45．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研备考
【答案】D
【解析】设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到．
故选D．
【名师点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求．
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程．
46．已知圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四省（四川 云南 贵州 西藏）名校2021届高三第一次大联考（文）
【答案】B
【分析】设圆心，由圆心到点距离等于圆心到切线的距离列式化简可得．
【解析】设圆心，据题意有，化简有．故选B．
47．已知双曲线的右焦点为，过F作直线l，若l与双曲线E有且只有一个交点，且l与y轴的交点为，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省中原名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次质量考评（文）
【答案】B
【解析】由题意，得直线l的斜率为，由l与双曲线E有且只有一个交点可知直线l与双曲线E的一条渐近线平行，故，即，所以，
所以双曲线E的离心率为．故选B．
48．已知双曲线C的方程为，其离心率，则双曲线C的上焦点F到其渐近线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省中原名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次质量考评（理）
【答案】B
【解析】设双曲线C实轴长为，又，，即，
所以，可知：上焦点，双曲线C的方程为，
所以双曲线C的渐近线方程为，即．
故上焦点F到渐近线的距离为．故选B．
49．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（（理））质检试题
【答案】D
【解析】设，则，，，
同理，，，
，，在，中，，
即，得，有，，
在中，由，即，
得，即离心率，故选D．

50．双曲线：的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（文））第三次质检
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
整理，得5y2＝4x2，解得y＝．故选B．
51．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（理））第三次质检
【答案】D
【解析】双曲线，即，所以，
由离心率为，所以，解得，所以双曲线，
则渐近线方程为，故选D．
52．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一、三象限内分别交于点，，四边形的面积为，周长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（文）
【答案】B
【解析】因为点在以为直径的圆上，则，则四边形是矩形，
根据题意可得：解得，，
所以：，，所以，故选B．
53．已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．2
【试题来源】百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国（理）
【答案】B
【解析】依题意，，故，则；
由对称性，不妨设，
故到点距离的最小值为．故选B．
54．已知双曲线(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高二下学期开学考试
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以双曲线中c=1，，所以，，所以双曲线方程为，选C．
55．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于(　　)
A． B．2
C． D．3
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】A
【解析】因为A，B两点关于直线y＝x＋m对称，所以可设直线AB的方程为y＝－x＋b，
由消去y整理得2x2＋x－b＝0，因为直线AB与抛物线交于两点，
所以Δ＝1＋8b＞0，解得．又由题意得，
因为，所以b＝1，满足题意．设A，B的中点为P(x0，y0)，
则，所以，
又点在直线y＝x＋m上，所以，解得．故选A．
【名师点睛】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面：（1）根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解；（2）根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求．
56．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B．
C． D．或
【试题来源】福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线的方程为．
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得．故选B．
57．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考（理）
【答案】C
【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选C．
58．抛物线的焦点坐标是( )
A．F(0，) B．F(1，－)
C．F(0，－) D．(1，)
【试题来源】广东省中山市华侨中学港澳台班2019-2020学年高二上学期期末
【答案】B
【解析】已知抛物线方程为，即，它的图象是由抛物线向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，
抛物线中，，焦点坐标为，，，
因此所求焦点坐标为，故选B．
59．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．以上都不对
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】A
【分析】把方程变形为，利用抛物线的定义，即可得到答案．
【解析】由题意，动点的坐标满足方程，
变形为，可得上式表示动点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，结合抛物线的定义可知：动点轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．故选A．
60．如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）

A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
【试题来源】新疆乌鲁木齐市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考
【答案】B
【解析】如图所示，在正方体中，作，垂足为，
则平面，过作，则平面，
则为点到直线的距离，由题意得，
由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，
所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B

61．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上，在中，，则的值是（ ）
A． B．4
C．2 D．1
【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题
【答案】A
【解析】如图所示，过点P作PH垂直于准线于点H，

设，则，
在中，由正弦定理知，即，
所以，又，所以，
则，又，所以，
在直角中，，，所以．故选A
62．抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线AF的斜率为，则等于（ ）
A．8 B．
C．4 D．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】C
【解析】抛物线方程为，焦点，准线方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，当时，，
可得点坐标为，，为垂足，
点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，
．故选．

63．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位．我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为，，且刚好三点共线，已知海里，海里，现以的中点为原点，所在直线为轴建系．现根据船接收到点与点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船在双曲线的左支上，若船上接到台发射的电磁波比台电磁波早（已知电磁波在空气中的传播速度约为，1海里），则点的坐标（单位：海里）为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】B
【解析】设由船到台和到台的距离差确定的双曲线方程为，
因为船上接到台发射的电磁波比台电磁波早，
则船到台和到台的距离差为海里，
故，又，故，
故由船到台和到台的距离差所确定的双曲线为，
联立，解得，故选B．
64．已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测（文）
【答案】B
【解析】由题意可得直线的方程为，双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为．由得，所以．因为，所以，整理可得，即，所以双曲线C的渐近线方程为，故选B．
65．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为， 、分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）
A．1或5 B．1或9
C．1 D．9
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】D
【解析】由与，又由双曲线的定义可知：，即，解之得（舍）或，应选答案D．
66．已知点分别是双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【试题来源】广西柳州市2020届高三第二次模拟考试（理）
【答案】A
【解析】由得，，根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．由双曲线的定义可得，，又，可得．所以可化为，即，而，
，解得，又，．故选A．
67．已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考
【答案】D
【解析】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，
即双曲线的焦点坐标为，即，
又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，
所以焦点到的距离为，
所以，又由，
所以双曲线的方程为．故选D．
68．已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（理）
【答案】D
【分析】设线段AB的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解
【解析】设线段AB的中点坐标为，则有，
设，代入双曲线方程有，两式相减得，
，可得，即，
．故选D．
69．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B．
C． D．5
【试题来源】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考（理）
【答案】B
【解析】如图所示，连接，设，则，因为，则，所以，得，
又，且，所以，
所以，即，故，即
所以．故选B．

70．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】D
【解析】由题可知，，若，
即，可得，即有，
由双曲线的定义可知，可得，
由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形中，，
则，由余弦定理得：，
化简得：，即，，可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为．故选D．
71．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省云南昆明市第一中学2021届高中新课标高三（10月）第二次双基检测（理）
【答案】D
【解析】由题可得双曲线的渐近线方程为，
，，，
因为，所以，
在中，，中，，
因为，所以，
所以，可得，
所以，所以，所以，故选D
72．已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，

直线的方程为，与联立，得；
直线与联立，得．由，得，即，
得，即，则，故选B．
73．设斜率为的直线与椭圆（）交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省临川第一中学暨临川一中实验学校2021届高三第一次月考（文）
【答案】A
【解析】由题意，，得，即，所以，
故选C．
74．如图所示，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】B
【解析】的面积为的正三角形，，解得．
代入椭圆方程可得：，与联立解得．故选B．
75．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．与大小不确定
【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】B
【解析】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：

因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，
所以，又是的重心，所以，
所以，所以，故选B．
76．已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】B
【解析】在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，
由图
，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，
过球心向地面做垂线，垂足是，

在构成的直角三角形中，，，
故选B．
77．已知为椭圆上的一个点，、分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】C
【分析】作出图形，可知两圆圆心恰为椭圆的两个焦点，利用圆的几何性质结合椭圆的定义可求得的最小值．
【解析】在椭圆中，，，，
该椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：

由椭圆的定义可得，
由圆的几何性质可得．
故选C．
78．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】A
【解析】由题意，解得，
所以椭圆方程为或，故选A．
79．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试试题
【答案】D
【解析】由题意可得，由得，
点A在椭圆上，则：，
整理可得：．故选D．
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
80．已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆弧 B．圆弧
C．双曲线弧 D．抛物线弧
【试题来源】四川省成都市树德中学2019-2020学年高二（下）期中（理）
【答案】D
【解析】由题意，所以是方程的两根，所以且，所以，，
所以点在曲线上，还要满足，轨迹为抛物线弧．故选D
81．关于曲线，给出下列五个命题：
①曲线关于轴对称；
②曲线关于轴对称；
③曲线关于对称；
④曲线关于原点对称；
⑤曲线所围成的区域面积大于
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】C
【解析】曲线的方程中用替换，方程不变，①正确；
用替换，方程不变，②正确；位置互换，方程不变，③正确；
同时用换，换，方程不变，④正确；
在第一象限，方程为，即，
它是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，
记，实质上是以为直径的半圆，
曲线在第一象限部分的面积为，
曲线所围成的区域面积为，⑤错．
正确命题有4个．故选C．
82．在中，，在边上，，，则过点以，为两焦点的双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（文）
【答案】D
【分析】设，求出，由双曲线的定义表示出，，再由离心率定义可得离心率．
【解析】在中，，所以为边上的高，．又，令，则|，，，所以，
所以过点以、为两焦点的双曲线中，，，所以过点以、为两焦点的双曲线的离心率为．故选D．
83．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【解析】设，可得，如下图所示：

由于的平分线过点，则，
即，，，
在中，由勾股定理可得，即，
，因此，椭圆的离心率为．故选D．
84．已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考
【答案】C
【解析】设，
所以，选C．
85．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省石家庄正定中学2021届高三上学期第二次半月考
【答案】B
【解析】设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，，因为为线段的中点，所以 ，又，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为，故选B．
86．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，
所以，则，，由余弦定理得，
即，所以椭圆的离心率，故选A．

87．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】B
【解析】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，，即，
由，，得，
设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以．故选B．