专题01 解三角形（选择题、填空题）（理）（9月第02期）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题01 解三角形（选择题、填空题）
一、单选题
1．（河北省滦南县第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在中，若，，，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可.
【解析】在中，由正弦定理可知，
因为，所以或，因为，所以，因此，
故选B.
2．（吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在中，角，，所对的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由结合正弦定理，得，
又，所以，又，所以或．故选C．
3．（吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理的推论，得，
又，所以．故选D．
4．（贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，已知，，，则（ ）
A．4 B．2
C．3 D．
【答案】D
【解析】依题意
.故选D
5．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）设在中，若，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】根据正弦定理：，化简所给条件，即可求得答案.
【解析】，
根据，“角化边”可得：，
即：，，是等腰直角三角形，故选C.
【点睛】本题主要考查了根据正弦定理判断三角形形状问题，解题关键是掌握正弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知中，，，，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．6
【答案】B
【解析】，，，
．故选．
7．（江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期阶段调研测试数学试题）在中，若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，因此，.
故选C.
8．（西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学（文）试题）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B．4
C． D．
【答案】C
【分析】首先利用余弦定理求出，利用三角形面积计算公式即可得出．
【解析】由余弦定理可得：，
化为：，解得，
∴的面积，故选C．
9．（辽宁省辽阳市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得，然后可由三角形面积公式得面积．
【解析】由正弦定理得，，
，
∴．故选C．
10．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，在中，利用余弦定理，即可求解的值，得到答案．
【解析】由题意，在中，由余弦定理可得，故选B．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
11．（广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角B的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理进行边角互化可得，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出，进而可求出角B的大小.
【解析】由正弦定理可知，，因为，
所以，即，
解得，则.故选:D.
12．（山东省济南市2020年7月高一年级学情检测（期末）数学试题）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将改写成，由余弦定理即可得到答案.
【解析】在中，，即，可得，
又，可得,故选D.
13．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,
再由,可得，故三内角分别为.
再由正弦定理可得三边之比，
故答案为
14．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）在△ABC中，，则A等于（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】C
【解析】由题可得.
15．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）在△ABC中，若，则A与B的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．A、B的大小关系不能确定
【答案】A
【解析】因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A.
16．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）已知中，,那么为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】在中，,， ，那么为锐角，由正弦定理可得解得.
17．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在ΔABC中，，，若ΔABC有两解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为ΔABC有两解，所以，选A．
18．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，已知，则的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ；
又 ，
所以 的面积 ，故选C
19．（天津市滨海新区2020届高三下学期居家反馈数学试题）中角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【解析】因为，所以，
即，所以，
因为B，C为三角形内角，所以，即，因此为直角三角形.故选B.
20．（天津市滨海新区2020届高三下学期居家反馈数学试题）在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理与已知条件结合，求得，进而根据角的范围得出结果即可.
【解析】由余弦定理可知，
因为，所以，即，
因为，所以.故选C.
21．（天津市滨海新区2020届高三下学期居家反馈数学试题）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由与的度数，求出的度数，利用正余弦定理求解即可.
【解析】，，，.由正弦定理可知，即，则.由余弦定理可知，.故选C.
22．（安徽省蚌埠市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】首先利用正弦定理，将题中的式子进行变形得到，应用正弦函数的差角公式得到，结合三角形内角的取值范围得到，从而进一步确定三角形的形状.
【解析】根据题意及正弦定理得
，即，所以，
结合三角形内角的取值范围得到，所以三角形是等腰三角形，
故选.
【点睛】本题主要考查有关三角形形状判断的问题，在解题过程中涉及到的知识点有正弦定理、正弦函数的差角公式、由三角函数值确定角的大小，最后应用两个角相等求得三角形的形状.
23．（广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试（普通班）文科数学试题）锐角中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将原等式变形为，再结合同角三角函数的商数关系和正弦定理，将角化为边，可得；由余弦定理可推出，；结合锐角，可解得，，从而有，而，根据正弦的两角差公式展开化简后即可得解．
【解析】，，
，，
由正弦定理知，，，即，
由余弦定理知，，整理得，
，，，．
锐角，、，，解得，，
，，
．故选．
【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角差公式、同角三角函数的商数关系等，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24．（辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末考试试题）已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．△的外接圆的面积为，且 ，则△的最大边长为（ ）
A．2 B．3
C． D．
【答案】C
【解析】设△的外接圆半径为R，则：，即
∵，
又、、
∴有
又∵，∴，
即有，而，可知，
∴，由且大边对大角知：△的最大边长为所对的边
，故选C.
【点睛】本题考查了正余弦定理，应用同角三角形的正余弦关系以及正弦定理的边角关系化简三角函数，将角的等式转为边的等式，结合余弦定理求角的余弦值，进而确定三角形的大边并求值
25．（河南省商丘一中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，是方程的两个根，且，则c＝（ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据韦达定理求出，，再根据余弦定理求.
【解析】，是方程的两个根，，，
因为，, 是锐角三角形，
根据余弦定理可知
即， ，故选B.
【点睛】本题考查解三角形和二次方程韦达定理的综合应用，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.
26．（山东省济南市2020年7月高一年级学情检测（期末）数学试题）如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为（ ）

A．米 B．米
C．米 D．200米
【答案】A
【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值的应用求出结果．
【解析】根据已知条件，，米，
所以，利用正弦定理：则，
所以．故选．
27．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）．
A．15 B．
C． D．
【答案】D
【解析】设根据题意，可得中，设，
，，由此可得，
中，，，

因此，，即，解之得，
由此可得中，，
即此时的船与灯塔的距离为，故选D．
【点睛】本题给出实际应用问题，求航行过程中船与灯塔的距离．着重考查了利用正余弦定理解三角形、直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念等知识，属于中档题．
28．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）已知△中，，则△ABC一定是
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由和正弦定理得，
即．因，
故不可能为直角，故．再由，故．选B．
29．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．
【解析】设三边所对的角分别为，
由，则∴，正确；
由余弦函数性质知，B正确；
，，
当为钝角时就有，C错误，；
，，∴，D正确．故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
30．（安徽省皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理）试题）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则（ ）
A．-2 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，则，
故．
故选C.
二、多选题
31．（辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.故选AD.
32．（广东省湛江市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
【答案】ABC
【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选ABC.
33．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则是等腰三角形
【答案】AC
【解析】由，则,故A正确.
,故B不正确.
由三角形中大角对大边，，则，根据正弦定理有,故C正确.
在三角形中若,则若或.
所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选AC.
【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题.
34．（江苏省盐城市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．的面积为6
【答案】ABD
【解析】对选项A，因为，所以，
即，所以，故选项A正确.
对选项B，因为，所以
即：，
所以，因为，
所以，，即，故选项B正确.
对选项C，因为，，所以，.
所以，
因为，所以，故选项C错误.
对选项D，，故D正确.故选ABD
35．（云南省玉龙纳西族自治县田家炳民族中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有两解 B．，有两解
C．，无解 D．，有一解
【答案】BD
【解析】对A项，若，由正弦定理可得，解得，则，此时该三角形只有一解，故A错误；对B项，若，由正弦定理可得，解得，根据大边对大角可得，则可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B正确；对C项，若，由正弦定理可得，解得，则三角形只有一解，故C错误；对D项，若，由正弦定理可得，解得，由，则为锐角，可得三角形有唯一解，故D正确；故选BD.
36．（海南省海南枫叶国际学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】，故，根据正弦定理：，即，
，故，，.
，化简得到，解得或，
若，故，故，不满足，故.
.故选.
37．（山东省潍坊市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试题）在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等边三角形
D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4
【答案】AC
【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；
对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．
【解析】由正弦定理可将条件转化为，
因为，故，因为，则，故正确；
若，则由正弦定理可知，则，
因为，则，故错误；
若，根据正弦定理可得，
又因为，即，即有，所以，
因为，则，故，
整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；
若的面积是，即，解得，
由余弦定理可得，即
设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选AC．
38．（辽宁省瓦房店市高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）下列说法正确的有（ ）
A．在中，
B．在中，若，则
C．在中，若，则，若，则都成立
D．在中，
【答案】ACD
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案．
【解析】对于A，由正弦定理，
可得：，故A正确；
对于B，由，可得，或，即，或，
，或，故B错误；
对于C，在中，由正弦定理可得，
因此是的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理，
可得右边左边，故D正确．
故选ACD．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
39．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
【解析】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B中：因为，且，所以角有两解；
对于选项C中：因为，且，所以角有两解；
对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.故选BC.
【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
40．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）中，，，则下列叙述正确的是（ ）
A．的外接圆的直径为4.
B．若，则满足条件的有且只有1个
C．若满足条件的有且只有1个，则
D．若满足条件的有两个，则
【答案】ABD
【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．
【解析】由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．
易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；
当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；
当，即，时，满足条件的三角形有两个．
故，正确，错误．故选．

41．（江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期阶段调研测试数学试题）在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则是锐角三角形
【答案】AC
【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到为锐角，但，无法判断，故D错误.
【解析】对选项A，，故A正确；
对选项B，因为
所以或，则是等腰三角形或直角三角形.故B错误；
对选项C，因为，
所以，
，，
因为，所以，，是直角三角形，故③正确；
对D，因为，所以，为锐角.
但，无法判断，所以无法判断是锐角三角形，故D错误.故选AC
42．（湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一6月月考数学试题）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．当A=2C时，的周长为
D．当A=2C时，若O为的内心，则的面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；
对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，
化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以面积的最大值为，所以B正确；
对于C，由A=2C，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，所以的周长为，所以C正确；
对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，，
所以的内切圆半径为，
所以的面积为，所以D正确，故选BCD.
三、填空题
43．（黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得.
又，所以，所以.故答案为：.
44．（河北省枣强中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_________．
【答案】4
【解析】∵，
∴根据正弦定理与余弦定理可得：，即，
∵，∴，∵，∴，故答案为4.
45．（重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题）在地面距离塔基分别为，，的、、处测得塔顶的仰角分别为，，，且，则塔高为_________．
【答案】
【分析】在直角三角形中表示出，利用即可求解.
【解析】设塔高为，则，
，，
，解得.故塔高为.

46．（广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为180米的，两点，然后在处测得，，在处测得，则此建筑物的高度为_________米.

【答案】
【分析】本题先求，再求，最后求即可.
【解析】在中，∵ ，，∴
由正弦定理：即，解得：，
在中，∵，∴.
47．（黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，，，则_________．
【答案】
【分析】由求出，根据正弦定理求解即可.
【解析】,,由正弦定理可得：,
即，解得，故答案为：.
48．（天津市滨海新区2020届高三下学期居家反馈数学试题）中角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】因为，，由余弦定理可得，，
即，设，则，代入整理得：，因为该方程必然有实数解，所以，解得，所以.故答案为：.
49．（甘肃省会宁县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为_________．

【答案】
【分析】由与，求出的度数，根据，，以及的长，利用正弦定理即可求出的长．
【解析】在中，，，，即，
则由正弦定理，得：．
50．（2020届河北省唐山市高三第二次模考数学（文）试题）在△中，角的对边为，若，则_________．
【答案】
【解析】由得，
又，所以
整理得：，即，则，.
【点睛】本题考查解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，边角互化之后注意的代换，难度一般.
51．（重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题）中，，是角的平分线，且，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】如图所示：

因为，是角的平分线，
所以
又因为，，
所以，
化简得，，
因为，所以.
因为，所以，即.故答案为：
52．（辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末考试试题）已知中，D是BC上的点，AD平分，且，，，则_________．
【答案】
【分析】由面积比得，得，由角平分线定理得，在和中应用余弦定理结合可求得．
【解析】由已知，，则，
又平分，所以，，设，则，
中，，
同理，中，，
因为，所以，
解得（负的舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过，，把两个三角形联系起来达到求解的目的．
53．（河南省商丘一中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在中，，．边上的中线，则_________．
【答案】
【解析】设，中，，

中，
，,
，解得：，，
中，,
,.
54．（上海市静安区2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在中，，，所对的边长分别为，，.设，，满足和，则_________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求得，再由正弦定理结合已知条件，求得的关系式，求得即可.
【解析】由得，又因为得.
由正弦定理，得，
又，所以，所以.故答案为：．
55．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）如图，在中，角的平分线交于且.若，，则_________．

【答案】
【分析】不妨令，易知，，然后在中，利用正弦定理，求出，的值，最后在中，利用正弦定理，可求出的值．
【解析】在中，角的平分线交于，且．
设，则，，，即，
整理得，所以：，
结合得，
即，显然是锐角，所以，．
再由得：，，解得．故答案为：．
56．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，的最大内角为，则的面积为_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和三角函数的降幂公式,化简已知等式得,再用诱导公式,化简整理得到,即得与联立,得到且,从而得到为最大边、为最大角等于,再利用余弦定理加以计算,得出的长,利用面积公式即可算出的面积.
【解析】(Ⅰ)由正弦定理和降幂公式,可得
将化为:
即，
又，
，
由正弦定理,得，又∵，解得，
∵三角形最大内角为,且为最大边，∴
∴，代入，
可解得，故的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题给出三角形的边角关系式,求三边的等差关系并依此求三角形的面积.着重考查了三角恒等变换公式、正弦定理和三角形的面积求法等知识,属于中档题.
57．（江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期阶段调研测试数学试题）在△ABC中，tanA＝2tanB，AC＝1，则△ABC的面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】由tanA＝2tanB得，
由正弦定理得，，
，易知当时，取得最大值．
【点睛】本题考查求三角形面积的最值，解题方法是用正弦定理表示出边长，然后把三角形面积用三角函数表示出来，利用三角函数恒等变换公式化为一个角的一个三角函数形式后可得最大值．
四、双空题
58．（浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）己知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则________；又若，，△ABC有两解，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由结合正弦定理化简得到，由即可得到A的大小；同样由正弦定理及，，(1)的结论可得，且△ABC有两解，即可知，可求x的范围
【解析】知
，而
∴
即，又，∴
由，，，
而有：，
即，且△ABC有两解，知：，
∴，故答案为：；.
59．（2020届高三6月质量检测巩固卷数学（理科）试题）在中，角，，分别为三角形的三个内角，且，则的取值范围是_________，的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为，所以，，得，再由，得，因为，，而，所以，所以，所以，所以，而，故的取值范围是．
60．（辽宁省瓦房店市高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________，_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求解，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和与差的公式求出，再利用正弦定理即可求解.
【解析】由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以是锐角，所以，
所以
，
由正弦定理得，所以
故答案为：；.
61．（浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试数学试题）在△中，角，，所对的边分别是，，，记△的面积为，外接圆半径为，，，则_________，_________．
【答案】
【分析】由正弦定理有，三角形面积公式有，即可求的值；根据余弦定理即和已知条件可求的值
【解析】由题意，结合正弦定理知：①，
而△的面积为，结合三角形面积公式：②，
∴由①知：代入②中，得且，∴，
又由余弦定理知：，而，有，
∴，故答案为：；
62．（江苏省淮安市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则_________，b的取值范围为_________．
【答案】6
【分析】由题意结合三角恒等变换、正弦定理可得，即可得；由三角形为锐角三角形可得，再由即可得解.
【解析】因为，所以，
由正弦定理得，又，所以，
所以；因为是锐角三角形，所以，，所以，所以.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及正弦定理的应用，考查了运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.
63．（2020年高考全国卷考前冲刺演练文科数学（二）试题）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的最大值为_________；若，则面积的最大值为_________．
【答案】
【分析】由题设条件和正弦定理，求得，再由余弦定理，可得，得到的最大值为，利用面积公式，即可求解.
【解析】由，可得，
即，由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，于是的最大值为，面积．
故答案为：，.
64．（浙江省绍兴市柯桥区2020届高三下学期6月方向性考试数学试题）四边形中，，，，，则__________，的最大值_________．

【答案】 30
【解析】中，，∴，为锐角，∴，∵，，∴四点共圆，
∵，∴当到的距离最大时，面积最大，此时是边的中垂线与外接圆的交点，设在的中垂线上，是圆心，是中点，则共线，，外接圆的直径为，，又，∴，，，
又，
∴，∴．
又，
∴的最大值是30．故答案为：；

65．（山东省济南市2020年7月高一年级学情检测（期末）数学试题）在圆内接四边形中，，，则________，若，则面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】设，因为，所以，
由余弦定理得：，解得，
所以，所以，所以是圆的直径，
则，设，
所以，，，，
所以


当时，面积取得最大值为，
故答案为：（1）；（2）