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专题01 解三角形（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）
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这是一份专题01 解三角形（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理），共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题01 解三角形（选择题、填空题）
一、单选题
1．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则的形状是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以，设，，，则角为的最大角，由余弦定理可得，即，故是钝角三角形．故选C．
2．（江西省贵溪市实验中学高中部2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，，，．故选．
3．（福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（理））中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，
由正弦定理得，，化为，
即，由于，，又，，
故选．
4．（湘豫名校2020届高三联考（6月）数学（文））设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，∴由正弦定理可得，
，，即，
，解得，或（舍去）
，的面积，∴解得．故选D．
5．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理））在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】中，，，，，即，
解得，又，，
，，，
的面积为．故选．
6．（湖南省湘西州古丈县第一中学2019-2020学年高一下学期期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理以及，和求得．
【解析】，由正弦定理可知，
，故选C．
7．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．6 C．或6 D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得4812－2×××()＝84，所以．故选A．
8．（四川省达州市2019-2020学年高二下学期期末数学（理科）试题）在中，“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得，
∴当时，，反之，必有，
∴“”是“”成立的充要条件，故选C．
9．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理得，故选C
10．（山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高一3月自主检测）中，若，则必是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】结合三角形的内角和公式可得，，代入已知化简可得，，结合的范围从而可得或，从而求得结果．
【解析】∵，，
∴ ，
则，或，
即：，所以为等腰或直角三角形，故选C．
11．（四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期开学考试）在△ABC中，若，则△ABC的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】【解析】由正弦定理，得，
，
又因为，所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形．故选B．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形．
12．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））在中，，则最小边长等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在中，，所以，
由三角形大边对大角的性质，可得：最小，
由正弦定理得：，即．故选A．
13．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量与平行，所以，
由正弦定理得，，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，故选B.
14．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，，且的面积为，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，∴，
由余弦定理是，．故选D．
15．（四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考数学（理））在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，，，，所以，
则．．故选D．
16．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理可知，因为，所以， ．故选A
17．（河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意，△的面积，则，
又，所以，所以或．故选C．
18．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，可得 ，即，
由，故．故选A．
19．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】中，三内角依次成等差数列，则，因为，
则，三边依次成等比数列，则，
由余弦定理可得，代入可得
化简可得，即，而，
由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选C．
20．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，则，
因为，，所以由正弦定理得，得，
因为，所以，
所以，所以b的取值范围为．故选C．
21．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由，利用正弦定理得：，
利用，则，
即，
得，，，
．故选A．
22．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
结合余弦定理有：，
则．本题选择B选项．
23．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，所以，
，，故选C．
24．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）在中，角所对应的边分别为，已知，则( )
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】由正弦定理及题设可知，，即，又，可得，再由正弦定理，可得解
【解析】由正弦定理：，又，
得到，即，
在中， ，故，即，
故，故选B
25．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状．
【解析】由，可得出，
设，则，，则角为最大角，
由余弦定理得，则角为钝角，
因此，为钝角三角形，故选C．
26．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知中，，则等于（ ）
A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，，根据，可得B角的大小．
【解析】由正弦定理可得，，
又，或．故选D
27．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为
A．200m B．300m
C．400m D．
【答案】B
【分析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解．
【解析】依题意可知，，
，，，
所以该山峰的高度，故选B．
28．（江西省贵溪市实验中学高中部2020届高三上学期第一次月考数学文科试题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A= ，
由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC== ，
∵a＞c，∴C=，故选B．
【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．
29．（江西省新余一中、樟树中学等六校2019-2020学年高一下学期第二次联考数学（理，创新班）试题）在中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若直线，平行，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形
【答案】C
【解析】解法一：由两直线平行可得
由正弦定理可知，即
又，且，所以或，即或．
若，则，，此时两直线重合，不符合题意，舍去，
故，则是直角三角形，故选C．
解法二：由两直线平行可得，由余弦定理
得，所以
所以，所以，
所以或，若，则两直线重合，不符合题意，故，
则是直角三角形，故选C．
30．（安徽师大附中2020届高三高考数学（文科）九模试题）已知分别为内角的对边，的面积为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得2csinA＝3cosCacosC，然后结合正弦定理及同角平方关系可求sinC，然后结合三角形的面积公式可求b，再由余弦定理可求c．
【解析】因为a＝2，2csinA＝3cosCacosC，由正弦定理可得：2sinCsinAsinAcosC，
因为 故sinA≠0，所以2sinCcosC，可得：4sinC＝3cosC＞0，
又sin2C+cos2C＝1，可得，cosC，sinC，
∵△ABC的面积为3absinC，∴b＝5，
则由余弦定理可得，，∴c．故选C．
31．（江西省宜春市重点高中2019-2020学年高二下学期期末（文科））黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得，即，
得，则，故选C．
32．（辽宁省沈阳二中2020届高三高考数学（理科）五模试题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出，，利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式求的面积即可．
【解析】，由：，，，，
．
由正弦定理，得，解得，
故的面积，故选A．
33．（四川省内江市第六中学2020届高三强化训练（一）数学（文））在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】 ，解得c=2．∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，
解得 ，∴ ，解得R=2．本题选择C选项．
34．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）在△ABC中，若，则C＝( )
A．45° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【分析】根据余弦定理，可以求出角的余弦值，进而根据为三角形内角，解三角方程可以求出角．
【解析】∵，∴．
又∵为三角形内角，∴．故选B．
35．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺测得，利用测角仪器测得仰角，测得仰角后通过计算得到，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
在中，由正弦定理得得：
，即，解得：，故选
36．（云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末数学（文））在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，解得，，
又，所以，
故．
因为，，故，
故．故选:B．
37．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），，，
则此三角形形状为直角三角形．故选
38．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】，解得，，故，故有两解，A正确；
，解得，，故，故有一解，B错误；
，解得，，故，故有一解，C错误；
，解得，无解，D错误．故选A．
39．（四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试）如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以为等腰直角三角形，
又因为，为中线，所以，，
所以．
因为，所以，所以，
即，所以．
过点作交于点，所以，因为，
设，则，所以，解得，
所以．故选D.
40．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为．故选A．
二、多选题
41．（江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高一下学期期中）在中，内角，，所对的边分别为，若，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由正弦定理，所以，
又，，所以或．故选CD．
42．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期期末）在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）
A．a＝50，b＝30，A＝60° B．a＝30，b＝65，A＝30°
C．a＝30，b＝50，A＝30° D．a＝30，b＝60，A＝30°
【答案】AD
【解析】对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，利用正弦定理可得：
则sinB，∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，利用正弦定理可得：
则sinB，此三角形无解；
对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，利用正弦定理可得：
则sinB，∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；
对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，利用正弦定理可得：，
则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．故选AD
43．（福建省宁德市2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】根据正弦定理得，所以A错误；
根据正弦定理得，其中为外接圆半径，
，所以B正确；
，所以C正确；
若，则或，所以或或，故D错误；故选BC
44．（江苏省泰州市兴化市一中2019-2020学年高一下学期期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】BD
【解析】若c边为最大边，则，，，
若边为最大边，则，，，所以，
所以边长c可能的取值是2、．故选BD．
45．（福建省漳州市2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据正弦定理得： ，
由于，所以或．故选BC．
46．（江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2020-2021学年高二上学期期初）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有（ ）
A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形
C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为
【答案】CD
【解析】由正弦定理得，对选项A，若直角，则．所以存在是直角三角形，故A错误．
对选项B，因为，所以不存在是等边三角形，故B错误．
对选项C，若，则，，的周长为15，故C正确．
对选项D，，
解得，．所以，故D正确．故选CD．
47．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】CD
【分析】直接利用三角形的解的情况①b＝csinB或②b＜csinB的应用求出结果．
【解析】①b＞csinB＝6．三角形有两解
②当b＝3时，三角形有一解．
③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．
④当b＜3时，三角形无解，故选CD．
48．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测）在中，角、、所对的边分别为、、，，．若点在边上，且，是的外心．则下列判断正确的是（ ）
A． B．的外接圆半径为
C． D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】在中，，，
，又，，故选项A错误；
又，所以，故，选项B正确．
取的中点，如图所示：
在中，，
在中，，
故选项C正确；由，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值为，故选项D错误．故选B C．
49．（辽宁省多校联盟2019-2020学年高一下学期数学期末试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．下列有关的结论，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．，其中为外接圆的半径
D．若为非直角三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确；
对于B，若，则，则，即，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确．故选ABD．
50．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）．
A．三角形另一边长为7 B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆周长为 D．三角形外接圆面积为
【答案】ABD
【解析】可得另一边长为，三角形的周长为20，则A正确，B正确；设内切圆半径为，则，则，则内切圆周长为，则C不正确；设外接圆半径为，则，，其面积为，则D正确．故选ABD．
51．（江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一下学期期末）对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
【答案】CD
【解析】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B: ，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D: ，，，，又，或，或，或，故D正确．故选CD.
52．（江苏省南京航空航天大学附中2019-2020年高一下学期阶段性调研（三））下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．若，则为等腰三角形
D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【答案】AB
【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．
【解析】中，，由得，A正确；
锐角三角形中，，∴，B正确；
中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；
中，若，，三角形面积，，，∴，，
∴，，D错．故选AB．
53．（广东省梅州市2019-2020学年高一下学期期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】ACD
【解析】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；
对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；
对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，故D正确．故选ACD．
54．（江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一下学期学情检测（二））中，，，面积，则边（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】中，因为，，面积，所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，解得，
当时，由余弦定理得：，解得
所以或，故选AC
55．（江苏省泰州市兴化市一中2019-2020学年高一下学期期中）在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．一定是钝三角形
C．
D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】可设的周长为，则由，
可得，，，
又，则，，，
故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；
由正弦定理，故C正确；
由，则，得，故，由，
得，的面积是，故D错．故选BC
56．（江苏省淮安市清江中学2019-2020学年高一下学期期中）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，所以．
由正弦定理得，，所以，故选ABD
57．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高一下学期6月月考）已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题其中正确命题有（ ）
A．满足条件的可能是锐角三角形；
B．满足条件的不可能是直角三角形；
C．当时，的周长为15；
D．当时，若为的内心，则的面积为．
【答案】ACD
【解析】由，结合正弦定理得，若，
则因为，是锐角三角形，A正确；
若，则是直角三角形，B错误；
若，则，
，
所以，
因为，，所以，解得，
由知为锐角，则，
所以，
，
所以，所以，
又，，，C正确；
，
设内切圆半径为，则，，
所以，D正确．故选ACD．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，在数学命题的真假判断中可举例说明特殊命题的正确和全称命题的错误，在的情况下三角形是确定的，结合三角函数恒等变换公式求解三角形判断命题的真假是基本方法．
58．（江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月开学考试）在中，已知，且，则（ ）
A．、、成等比数列 B．
C．若，则 D．、、成等差数列
【答案】BC
【解析】因为，
所以，即．
又因为，
所以，
即，．
对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A错误．
对选项B，因为，，所以，
即，故B正确．
对选项C，若，则，，则，
因为，所以．故，故C正确．
对选项D，若、、成等差数列，则．又，则．
因为，设，，，，
则，故D错误．故选BC
59．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考）四边形内接于圆，，下列结论正确的有（ ）
A．四边形为梯形 B．圆的直径为7
C．四边形的面积为 D．的三边长度可以构成一个等差数列
【答案】ACD
【解析】，，
可证，，，
，显然不平行，即四边形为梯形，故正确；
在中由余弦定理可得，
，，圆的直径不可能是，故错误；
在中由余弦定理可得，
解得或（舍去），
，
，
，故正确；
在中，，，，满足，
的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；故选.
60．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（ ）
A．△ABC的外接圆面积是； B．bcos C＋ccos B＝7；
C．b＋c可能等于16； D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7
【答案】ABD
【解析】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．
对于C，
，，故C错误．
对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．故选ABD．
61．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A中，因为，又由函数在上为单调递减函数，
所以，可得为等腰三角形，所以A是正确的；
对于B中，由，可得，根据正弦定理可得，
所以，故B是正确的；
对于C中，由余弦定理可得，此时只有一解，所以C不正确；
对于D中，因为，根据正弦定理，可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确．故选ABD
62．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若且该三角形有两解，则的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确．
对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确．
对于C选项，由以及正弦定理得，
即，
所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形．故C选项正确．对于D选项，，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确．故选ABCD
63．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初）已知的外接圆半径，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的周长的最小值为 D．的面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】在中，设角所对的边分别记作，
∴，∴，又的外接圆半径，由正弦定理得：，∴，又∵B、C不会同为钝角，故，又∵，∴，故B选项对．
由上得:，由余弦定理得：，
∴，∴∴的最小值为，故A选项对，C选项错．
由上得：，又，的面积的最大值为，故D选项对，故选ABD．
64．（江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期开学检测）若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】AD
【解析】由三角形的边长能构成三角形，则有，
又，所以在中为钝角的可能为角或角．
则或
所以或，解得：或
所以选项A、D满足．故选AD
65．（福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
【答案】AC
【解析】由正弦定理，得
，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，
但时，，∴B不正确．
C正确，D不正确：设，则，
，，
，
，
，∴C正确，D不正确；故选AC．
三、填空题
66．（福建省普通高中2019-2020学年高二1月学业水平合格性考试）在中，，，，则______．
【答案】
【解析】由正弦定理得，所以，得．故答案为：．
67．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，，，，则______________．
【答案】1
【解析】由题意，根据余弦定理得，
即，解得，或（舍去）．故填1．
68．（福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（文））在中，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由余弦定理得，即，
即，
所以．故答案为：
69．（江西省宜春市重点高中2019-2020学年高二下学期期末（文科））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，，
由正弦定理可知，即，所以，
因此，由余弦定理可得：，
即，即，解得：（舍）或．故答案为：．
70．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））已知，，分别是的三个内角，，所对的边，若，，的面积，则______．
【答案】
【解析】由三角形面积公式可得，
因为，，所以，解得，
由余弦定理可得，解得．故答案为：．
71．（四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，，则的外接圆面积为__________．
【答案】
【解析】由正弦定理知：，
即，，，
即．故．故答案为
72．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则．已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．
【答案】
【解析】，所以，由余弦定理可知，得．根据“三斜求积术”可得，所以．
73．（江西省信丰中学2019届高三上学期第三次月考数学（文））在△中，三个内角所对的边分别是．若，则______．
【答案】
【解析】∵三个内角所对的边分别是，若
∴根据正弦定理得，即，∴，故答案为.
74．（福建省福州市格致中学2019-2020学年高二（下）期末）已知的内角的对边分别为．若，则角大小为_____．
【答案】
【解析】因为所以
所以所以
因为，所以，
则，所以，又，则，
因为，所以，故．故答案为:．
75．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________．
【答案】
【解析】设三角形的三边长为a-4，b=a，c=a+4，(a
76．（四川省成都市第七中学2021届高三上学期开学考试数学（理））在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为______．
【答案】1或3
【分析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得，利用余弦定理可求的值．
【解析】，即有，
即，
即有，由于为三角形的内角，则，
又，即有，
又，解得，，或，．故答案为：1或3．
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．
77．（吉林省长春市八中2020届高三第二次诊断性检测数学（理））在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，即，解得，
故的面积．故答案为：
78．（安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期8月第一次联考（文））已知在中，，若，则该三角形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】由正弦定理进行边角互化得：，故，
化简得，即，可求得，故面积．
又，故．由，得，解得，
当且仅当时取等号，此时．故答案为：2．
79．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，，，，则的值为______________．
【答案】-20
【解析】中，，，，
，，因此，，故答案为：
80．（湘豫名校2020届高三联考（6月）数学（文））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】∵，∴为非零常数，故点B的轨迹是圆．
以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，设，∵，，
，整理得，
因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径4．此时，，设内切圆的半径为r，则，解得．故答案为：
四、双空题
81．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，由题意：，
△ABE中，，∴，
∴．
∵，∴，
解得或（舍去）．
综上可得，△BCD面积为，．
【点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
82．（浙江省“山水联盟”2020-2021学年高三上学期开学考试）如图，三角形中，是边上的一点，若，且，则______；______．
【答案】3 6
【解析】依题意，三角形中角的正弦值为正数，
所以，
在三角形中，．
．在三角形中，由余弦定理得．故答案为：；
83．（浙江省名校协作体2020-2021学年高三上学期开学考试）如图所示，在平面四边形中，，，，，则_______________，若，则_______________．
【答案】 5
【解析】在中， ，，，
由正弦定理得：，所以，
所以．在中，，，
由余弦定理得：
，所以，故答案为：；5
84．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（文））《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；，，分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则满足关系：．若在中，，，，根据上述公式，可以推出边的长为________，该三角形外接圆的面积为________．
【答案】
【解析】由，可得，
设，则，因为，
所以，解得，
所以，，，则，
由，可得，则，
设该三角形外接圆的半径为，则，即，
所以外接圆的面积为．故答案为：；．
85．（2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（三））如图所示，四边形中，，，，则______；______．
【答案】
【解析】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．故答案为：；
86．（浙江省湖州中学2019-2020学年高一上学期第一次月考）在中，内角，所对的边分别为，若，则________，________．
【答案】
【解析】由题意，，，
因为，所以，，则，．
所以．
由正弦定理，，则．故答案为：；．
87．（浙江省平阳县浙鳌高级中学2021届高三上学期期初教学质量监测）知中，，，分别为角，，所对的边，若，，则________，________．
【答案】
【解析】由得，
整理得，所以，
又，所以，由正弦定理可得，；
因为三角形中，大边对大角，所以，因此为锐角，所以；
又．
故答案为：；．
88．（云南省昆明市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））如图，在中，，，，，分别在边，，上，且．
①若，则______；
②面积的最大值为______．
【答案】
【解析】如图所示，作于，作于，可得在线段上运动，
因为，，则，设，
在中，由余弦定理可得，
同理可得，又由勾股定理可得，
由，可得，
整理得，即则，所以；
又由的面积为，
所以面积的最大值为．故答案为：，．
89．（2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（一））如图，在直角三角形中，，，，为内一点，且，设，若，则______；若，则______．
【答案】
【解析】因为，，为等腰三角形，所以；
又，且，
从而相似，且相似比为，
由正弦定理得，即，
所以，即，故．
故答案为：①；②．
90．（浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高二下学期期末）在中，，点D在边上，且，，则：____；________．
【答案】
【解析】在中，
，，
在中，由余弦定理可得：，
，，
．故答案为：；
91．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）若的面积为，且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，
，即，，
则，
为钝角，，，
故．故答案为，．
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键．
92．（福建省永安市第一中学2021届高三上学期暑期考试）某学校高一同学参加社会实践活动，应用所学知识测量一个四边形公园的面积，如图所示，测量得公园的四边边长分别为，，，，则公园的面积为______，当地政府规划建一条圆形的公路，使得整个公园都在圆形公路的里面，则这条公路的总长度的最小值为______．（备注：把公路看成一条曲线，公路宽度不计）．
【答案】
【解析】由余弦定理可知
，
所以，则，则面积为
．
设的外接圆圆心为，半径为，由正弦定理可知
，则，
即，所以重合，即四边形有外接圆，
其半径为，所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小为．
故答案为: ;．
93．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）在锐角中，角所对的边分别是，，，则____________，____________．
【答案】
【解析】因为，，，由余弦定理可得，即解得或，当时，，则最大，由，即，为钝角，不符合题意，舍去；所以，
所以，故答案为：；.
专题01 解三角形（选择题、填空题）
一、单选题
1．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则的形状是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以，设，，，则角为的最大角，由余弦定理可得，即，故是钝角三角形．故选C．
2．（江西省贵溪市实验中学高中部2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，，，．故选．
3．（福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（理））中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，
由正弦定理得，，化为，
即，由于，，又，，
故选．
4．（湘豫名校2020届高三联考（6月）数学（文））设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，∴由正弦定理可得，
，，即，
，解得，或（舍去）
，的面积，∴解得．故选D．
5．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理））在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】中，，，，，即，
解得，又，，
，，，
的面积为．故选．
6．（湖南省湘西州古丈县第一中学2019-2020学年高一下学期期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理以及，和求得．
【解析】，由正弦定理可知，
，故选C．
7．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．6 C．或6 D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得4812－2×××()＝84，所以．故选A．
8．（四川省达州市2019-2020学年高二下学期期末数学（理科）试题）在中，“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得，
∴当时，，反之，必有，
∴“”是“”成立的充要条件，故选C．
9．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理得，故选C
10．（山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高一3月自主检测）中，若，则必是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】结合三角形的内角和公式可得，，代入已知化简可得，，结合的范围从而可得或，从而求得结果．
【解析】∵，，
∴ ，
则，或，
即：，所以为等腰或直角三角形，故选C．
11．（四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期开学考试）在△ABC中，若，则△ABC的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】【解析】由正弦定理，得，
，
又因为，所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形．故选B．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形．
12．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））在中，，则最小边长等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在中，，所以，
由三角形大边对大角的性质，可得：最小，
由正弦定理得：，即．故选A．
13．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量与平行，所以，
由正弦定理得，，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，故选B.
14．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，，且的面积为，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，∴，
由余弦定理是，．故选D．
15．（四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考数学（理））在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，，，，所以，
则．．故选D．
16．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理可知，因为，所以， ．故选A
17．（河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意，△的面积，则，
又，所以，所以或．故选C．
18．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，可得 ，即，
由，故．故选A．
19．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】中，三内角依次成等差数列，则，因为，
则，三边依次成等比数列，则，
由余弦定理可得，代入可得
化简可得，即，而，
由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选C．
20．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，则，
因为，，所以由正弦定理得，得，
因为，所以，
所以，所以b的取值范围为．故选C．
21．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由，利用正弦定理得：，
利用，则，
即，
得，，，
．故选A．
22．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
结合余弦定理有：，
则．本题选择B选项．
23．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，所以，
，，故选C．
24．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）在中，角所对应的边分别为，已知，则( )
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】由正弦定理及题设可知，，即，又，可得，再由正弦定理，可得解
【解析】由正弦定理：，又，
得到，即，
在中， ，故，即，
故，故选B
25．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状．
【解析】由，可得出，
设，则，，则角为最大角，
由余弦定理得，则角为钝角，
因此，为钝角三角形，故选C．
26．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知中，，则等于（ ）
A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，，根据，可得B角的大小．
【解析】由正弦定理可得，，
又，或．故选D
27．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试）在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为
A．200m B．300m
C．400m D．
【答案】B
【分析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解．
【解析】依题意可知，，
，，，
所以该山峰的高度，故选B．
28．（江西省贵溪市实验中学高中部2020届高三上学期第一次月考数学文科试题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A= ，
由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC== ，
∵a＞c，∴C=，故选B．
【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．
29．（江西省新余一中、樟树中学等六校2019-2020学年高一下学期第二次联考数学（理，创新班）试题）在中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若直线，平行，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形
【答案】C
【解析】解法一：由两直线平行可得
由正弦定理可知，即
又，且，所以或，即或．
若，则，，此时两直线重合，不符合题意，舍去，
故，则是直角三角形，故选C．
解法二：由两直线平行可得，由余弦定理
得，所以
所以，所以，
所以或，若，则两直线重合，不符合题意，故，
则是直角三角形，故选C．
30．（安徽师大附中2020届高三高考数学（文科）九模试题）已知分别为内角的对边，的面积为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得2csinA＝3cosCacosC，然后结合正弦定理及同角平方关系可求sinC，然后结合三角形的面积公式可求b，再由余弦定理可求c．
【解析】因为a＝2，2csinA＝3cosCacosC，由正弦定理可得：2sinCsinAsinAcosC，
因为 故sinA≠0，所以2sinCcosC，可得：4sinC＝3cosC＞0，
又sin2C+cos2C＝1，可得，cosC，sinC，
∵△ABC的面积为3absinC，∴b＝5，
则由余弦定理可得，，∴c．故选C．
31．（江西省宜春市重点高中2019-2020学年高二下学期期末（文科））黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得，即，
得，则，故选C．
32．（辽宁省沈阳二中2020届高三高考数学（理科）五模试题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出，，利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式求的面积即可．
【解析】，由：，，，，
．
由正弦定理，得，解得，
故的面积，故选A．
33．（四川省内江市第六中学2020届高三强化训练（一）数学（文））在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】 ，解得c=2．∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，
解得 ，∴ ，解得R=2．本题选择C选项．
34．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）在△ABC中，若，则C＝( )
A．45° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【分析】根据余弦定理，可以求出角的余弦值，进而根据为三角形内角，解三角方程可以求出角．
【解析】∵，∴．
又∵为三角形内角，∴．故选B．
35．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺测得，利用测角仪器测得仰角，测得仰角后通过计算得到，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
在中，由正弦定理得得：
，即，解得：，故选
36．（云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末数学（文））在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，解得，，
又，所以，
故．
因为，，故，
故．故选:B．
37．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），，，
则此三角形形状为直角三角形．故选
38．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试）在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】，解得，，故，故有两解，A正确；
，解得，，故，故有一解，B错误；
，解得，，故，故有一解，C错误；
，解得，无解，D错误．故选A．
39．（四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试）如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以为等腰直角三角形，
又因为，为中线，所以，，
所以．
因为，所以，所以，
即，所以．
过点作交于点，所以，因为，
设，则，所以，解得，
所以．故选D.
40．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为．故选A．
二、多选题
41．（江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高一下学期期中）在中，内角，，所对的边分别为，若，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由正弦定理，所以，
又，，所以或．故选CD．
42．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期期末）在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）
A．a＝50，b＝30，A＝60° B．a＝30，b＝65，A＝30°
C．a＝30，b＝50，A＝30° D．a＝30，b＝60，A＝30°
【答案】AD
【解析】对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，利用正弦定理可得：
则sinB，∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，利用正弦定理可得：
则sinB，此三角形无解；
对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，利用正弦定理可得：
则sinB，∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；
对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，利用正弦定理可得：，
则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．故选AD
43．（福建省宁德市2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】根据正弦定理得，所以A错误；
根据正弦定理得，其中为外接圆半径，
，所以B正确；
，所以C正确；
若，则或，所以或或，故D错误；故选BC
44．（江苏省泰州市兴化市一中2019-2020学年高一下学期期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】BD
【解析】若c边为最大边，则，，，
若边为最大边，则，，，所以，
所以边长c可能的取值是2、．故选BD．
45．（福建省漳州市2019-2020学年高一下学期期末考试）在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据正弦定理得： ，
由于，所以或．故选BC．
46．（江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2020-2021学年高二上学期期初）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有（ ）
A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形
C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为
【答案】CD
【解析】由正弦定理得，对选项A，若直角，则．所以存在是直角三角形，故A错误．
对选项B，因为，所以不存在是等边三角形，故B错误．
对选项C，若，则，，的周长为15，故C正确．
对选项D，，
解得，．所以，故D正确．故选CD．
47．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】CD
【分析】直接利用三角形的解的情况①b＝csinB或②b＜csinB的应用求出结果．
【解析】①b＞csinB＝6．三角形有两解
②当b＝3时，三角形有一解．
③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．
④当b＜3时，三角形无解，故选CD．
48．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测）在中，角、、所对的边分别为、、，，．若点在边上，且，是的外心．则下列判断正确的是（ ）
A． B．的外接圆半径为
C． D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】在中，，，
，又，，故选项A错误；
又，所以，故，选项B正确．
取的中点，如图所示：
在中，，
在中，，
故选项C正确；由，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值为，故选项D错误．故选B C．
49．（辽宁省多校联盟2019-2020学年高一下学期数学期末试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．下列有关的结论，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．，其中为外接圆的半径
D．若为非直角三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确；
对于B，若，则，则，即，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确．故选ABD．
50．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）．
A．三角形另一边长为7 B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆周长为 D．三角形外接圆面积为
【答案】ABD
【解析】可得另一边长为，三角形的周长为20，则A正确，B正确；设内切圆半径为，则，则，则内切圆周长为，则C不正确；设外接圆半径为，则，，其面积为，则D正确．故选ABD．
51．（江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一下学期期末）对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
【答案】CD
【解析】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B: ，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D: ，，，，又，或，或，或，故D正确．故选CD.
52．（江苏省南京航空航天大学附中2019-2020年高一下学期阶段性调研（三））下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．若，则为等腰三角形
D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【答案】AB
【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．
【解析】中，，由得，A正确；
锐角三角形中，，∴，B正确；
中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；
中，若，，三角形面积，，，∴，，
∴，，D错．故选AB．
53．（广东省梅州市2019-2020学年高一下学期期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】ACD
【解析】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；
对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；
对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，故D正确．故选ACD．
54．（江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一下学期学情检测（二））中，，，面积，则边（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】中，因为，，面积，所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，解得，
当时，由余弦定理得：，解得
所以或，故选AC
55．（江苏省泰州市兴化市一中2019-2020学年高一下学期期中）在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．一定是钝三角形
C．
D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】可设的周长为，则由，
可得，，，
又，则，，，
故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；
由正弦定理，故C正确；
由，则，得，故，由，
得，的面积是，故D错．故选BC
56．（江苏省淮安市清江中学2019-2020学年高一下学期期中）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，所以．
由正弦定理得，，所以，故选ABD
57．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高一下学期6月月考）已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题其中正确命题有（ ）
A．满足条件的可能是锐角三角形；
B．满足条件的不可能是直角三角形；
C．当时，的周长为15；
D．当时，若为的内心，则的面积为．
【答案】ACD
【解析】由，结合正弦定理得，若，
则因为，是锐角三角形，A正确；
若，则是直角三角形，B错误；
若，则，
，
所以，
因为，，所以，解得，
由知为锐角，则，
所以，
，
所以，所以，
又，，，C正确；
，
设内切圆半径为，则，，
所以，D正确．故选ACD．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，在数学命题的真假判断中可举例说明特殊命题的正确和全称命题的错误，在的情况下三角形是确定的，结合三角函数恒等变换公式求解三角形判断命题的真假是基本方法．
58．（江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月开学考试）在中，已知，且，则（ ）
A．、、成等比数列 B．
C．若，则 D．、、成等差数列
【答案】BC
【解析】因为，
所以，即．
又因为，
所以，
即，．
对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A错误．
对选项B，因为，，所以，
即，故B正确．
对选项C，若，则，，则，
因为，所以．故，故C正确．
对选项D，若、、成等差数列，则．又，则．
因为，设，，，，
则，故D错误．故选BC
59．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考）四边形内接于圆，，下列结论正确的有（ ）
A．四边形为梯形 B．圆的直径为7
C．四边形的面积为 D．的三边长度可以构成一个等差数列
【答案】ACD
【解析】，，
可证，，，
，显然不平行，即四边形为梯形，故正确；
在中由余弦定理可得，
，，圆的直径不可能是，故错误；
在中由余弦定理可得，
解得或（舍去），
，
，
，故正确；
在中，，，，满足，
的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；故选.
60．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（ ）
A．△ABC的外接圆面积是； B．bcos C＋ccos B＝7；
C．b＋c可能等于16； D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7
【答案】ABD
【解析】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．
对于C，
，，故C错误．
对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．故选ABD．
61．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A中，因为，又由函数在上为单调递减函数，
所以，可得为等腰三角形，所以A是正确的；
对于B中，由，可得，根据正弦定理可得，
所以，故B是正确的；
对于C中，由余弦定理可得，此时只有一解，所以C不正确；
对于D中，因为，根据正弦定理，可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确．故选ABD
62．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若且该三角形有两解，则的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确．
对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确．
对于C选项，由以及正弦定理得，
即，
所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形．故C选项正确．对于D选项，，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确．故选ABCD
63．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初）已知的外接圆半径，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的周长的最小值为 D．的面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】在中，设角所对的边分别记作，
∴，∴，又的外接圆半径，由正弦定理得：，∴，又∵B、C不会同为钝角，故，又∵，∴，故B选项对．
由上得:，由余弦定理得：，
∴，∴∴的最小值为，故A选项对，C选项错．
由上得：，又，的面积的最大值为，故D选项对，故选ABD．
64．（江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期开学检测）若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】AD
【解析】由三角形的边长能构成三角形，则有，
又，所以在中为钝角的可能为角或角．
则或
所以或，解得：或
所以选项A、D满足．故选AD
65．（福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
【答案】AC
【解析】由正弦定理，得
，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，
但时，，∴B不正确．
C正确，D不正确：设，则，
，，
，
，
，∴C正确，D不正确；故选AC．
三、填空题
66．（福建省普通高中2019-2020学年高二1月学业水平合格性考试）在中，，，，则______．
【答案】
【解析】由正弦定理得，所以，得．故答案为：．
67．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，，，，则______________．
【答案】1
【解析】由题意，根据余弦定理得，
即，解得，或（舍去）．故填1．
68．（福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（文））在中，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由余弦定理得，即，
即，
所以．故答案为：
69．（江西省宜春市重点高中2019-2020学年高二下学期期末（文科））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，，
由正弦定理可知，即，所以，
因此，由余弦定理可得：，
即，即，解得：（舍）或．故答案为：．
70．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））已知，，分别是的三个内角，，所对的边，若，，的面积，则______．
【答案】
【解析】由三角形面积公式可得，
因为，，所以，解得，
由余弦定理可得，解得．故答案为：．
71．（四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，，则的外接圆面积为__________．
【答案】
【解析】由正弦定理知：，
即，，，
即．故．故答案为
72．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则．已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．
【答案】
【解析】，所以，由余弦定理可知，得．根据“三斜求积术”可得，所以．
73．（江西省信丰中学2019届高三上学期第三次月考数学（文））在△中，三个内角所对的边分别是．若，则______．
【答案】
【解析】∵三个内角所对的边分别是，若
∴根据正弦定理得，即，∴，故答案为.
74．（福建省福州市格致中学2019-2020学年高二（下）期末）已知的内角的对边分别为．若，则角大小为_____．
【答案】
【解析】因为所以
所以所以
因为，所以，
则，所以，又，则，
因为，所以，故．故答案为:．
75．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________．
【答案】
【解析】设三角形的三边长为a-4，b=a，c=a+4，(a
76．（四川省成都市第七中学2021届高三上学期开学考试数学（理））在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为______．
【答案】1或3
【分析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得，利用余弦定理可求的值．
【解析】，即有，
即，
即有，由于为三角形的内角，则，
又，即有，
又，解得，，或，．故答案为：1或3．
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．
77．（吉林省长春市八中2020届高三第二次诊断性检测数学（理））在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，即，解得，
故的面积．故答案为：
78．（安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期8月第一次联考（文））已知在中，，若，则该三角形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】由正弦定理进行边角互化得：，故，
化简得，即，可求得，故面积．
又，故．由，得，解得，
当且仅当时取等号，此时．故答案为：2．
79．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试）在中，，，，则的值为______________．
【答案】-20
【解析】中，，，，
，，因此，，故答案为：
80．（湘豫名校2020届高三联考（6月）数学（文））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】∵，∴为非零常数，故点B的轨迹是圆．
以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，设，∵，，
，整理得，
因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径4．此时，，设内切圆的半径为r，则，解得．故答案为：
四、双空题
81．（辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，由题意：，
△ABE中，，∴，
∴．
∵，∴，
解得或（舍去）．
综上可得，△BCD面积为，．
【点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
82．（浙江省“山水联盟”2020-2021学年高三上学期开学考试）如图，三角形中，是边上的一点，若，且，则______；______．
【答案】3 6
【解析】依题意，三角形中角的正弦值为正数，
所以，
在三角形中，．
．在三角形中，由余弦定理得．故答案为：；
83．（浙江省名校协作体2020-2021学年高三上学期开学考试）如图所示，在平面四边形中，，，，，则_______________，若，则_______________．
【答案】 5
【解析】在中， ，，，
由正弦定理得：，所以，
所以．在中，，，
由余弦定理得：
，所以，故答案为：；5
84．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（文））《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；，，分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则满足关系：．若在中，，，，根据上述公式，可以推出边的长为________，该三角形外接圆的面积为________．
【答案】
【解析】由，可得，
设，则，因为，
所以，解得，
所以，，，则，
由，可得，则，
设该三角形外接圆的半径为，则，即，
所以外接圆的面积为．故答案为：；．
85．（2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（三））如图所示，四边形中，，，，则______；______．
【答案】
【解析】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．故答案为：；
86．（浙江省湖州中学2019-2020学年高一上学期第一次月考）在中，内角，所对的边分别为，若，则________，________．
【答案】
【解析】由题意，，，
因为，所以，，则，．
所以．
由正弦定理，，则．故答案为：；．
87．（浙江省平阳县浙鳌高级中学2021届高三上学期期初教学质量监测）知中，，，分别为角，，所对的边，若，，则________，________．
【答案】
【解析】由得，
整理得，所以，
又，所以，由正弦定理可得，；
因为三角形中，大边对大角，所以，因此为锐角，所以；
又．
故答案为：；．
88．（云南省昆明市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））如图，在中，，，，，分别在边，，上，且．
①若，则______；
②面积的最大值为______．
【答案】
【解析】如图所示，作于，作于，可得在线段上运动，
因为，，则，设，
在中，由余弦定理可得，
同理可得，又由勾股定理可得，
由，可得，
整理得，即则，所以；
又由的面积为，
所以面积的最大值为．故答案为：，．
89．（2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（一））如图，在直角三角形中，，，，为内一点，且，设，若，则______；若，则______．
【答案】
【解析】因为，，为等腰三角形，所以；
又，且，
从而相似，且相似比为，
由正弦定理得，即，
所以，即，故．
故答案为：①；②．
90．（浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高二下学期期末）在中，，点D在边上，且，，则：____；________．
【答案】
【解析】在中，
，，
在中，由余弦定理可得：，
，，
．故答案为：；
91．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末）若的面积为，且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，
，即，，
则，
为钝角，，，
故．故答案为，．
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键．
92．（福建省永安市第一中学2021届高三上学期暑期考试）某学校高一同学参加社会实践活动，应用所学知识测量一个四边形公园的面积，如图所示，测量得公园的四边边长分别为，，，，则公园的面积为______，当地政府规划建一条圆形的公路，使得整个公园都在圆形公路的里面，则这条公路的总长度的最小值为______．（备注：把公路看成一条曲线，公路宽度不计）．
【答案】
【解析】由余弦定理可知
，
所以，则，则面积为
．
设的外接圆圆心为，半径为，由正弦定理可知
，则，
即，所以重合，即四边形有外接圆，
其半径为，所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小为．
故答案为: ;．
93．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）在锐角中，角所对的边分别是，，，则____________，____________．
【答案】
【解析】因为，，，由余弦定理可得，即解得或，当时，，则最大，由，即，为钝角，不符合题意，舍去；所以，
所以，故答案为：；.
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