专题09 圆锥曲线与方程（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题09 圆锥曲线与方程（选择题、填空题）
一、单选题
1．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理））椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】由题意，所以，，所以，∴．
故选A．
2．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，故选D．
3．（云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，又因为，所以，故选C．
4．（四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考数学（理））若双曲线的离心率为，则C的虚轴长为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的离心率为，故，
解得，所以虚轴长为．故选C．
5．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高二上学期10月月考）椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆中，，所以，
得，故选B．
6．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文））椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B．8 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意， 且，∴．故选A．
7．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一个焦点的距离为．故选B．
8．（湖北省武汉为明学校2019-2020学年高二上学期12月月考）空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A（3，1，0），B（－1，3，0），若点C满足＝＋，其中，∈R，＋＝1，则点C的轨迹为
A．平面 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】B
【解析】设点C的坐标为，由题意可得 ，
再由＋＝1可得，，故点C的轨迹方程为，故选B．
9．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文））已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】∵动点满足，∴，
∴，解得，∴点的轨迹是抛物线．故选 D．
10．（陕西省西安市第一中学2020-2021学年高三上学期模拟调研考试数学（理））已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
【答案】A
【解析】因为为抛物线的焦点，所以，设，由抛物线的性质得：，∴，故到的距离为4．故选A．
11．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）双曲线的方程为，则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线，得，，则，双曲线的右准线方程为，可知抛物线的准线方程为，则焦点坐标为，设抛物线方程为，则，，则抛物线的标准方程是，故选B．
12．（吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）六模）已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，
代入抛物线方程得：，又点在第四象限，所以，故．故选B．
13．（吉林省长春市长春八中2020届高三毕业班第一次诊断性检测数学（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线方程，得其准线方程为，设，，
由抛物线的性质得，，中点的横坐标为，
线段的中点到轴的距离为．故选B．
14．（四川省成都七中2020-2021学年高三入学考试数学文科试题）抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】依题意，得F（1，0），抛物线的准线为x＝－1，线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，因为点到直线的距离是线段长度的2倍，所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍，设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2，故选B.
15．（云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（文））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选B．
16．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程得
即焦距为，故选D．
17．（江西九江市第一中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学（文））已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先求出焦点到渐进线的距离为，由勾股定理求出的边长，再由面积得到的关系，从而求出离心率．
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，
过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则 ，
所以在中，，所以 ，
则，即，
所以，即，所以，故，故选C

18．（安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的两条渐近线互相垂直，得到，然后利用焦距为，求得b，进而得到抛物线的方程求解．
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，又焦距为，所以，解得，
所以 ，所以抛物线的准线方程是，故选B．
19．（云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理））双曲线 的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题意，得到，渐近线方程为，根据点到直线距离公式，求出，得出，即可求出离心率．
【解析】因为双曲线的右焦点为，即，双曲线的渐近线方程为；又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，所以，即，所以，则，因此．故选B．
20．（江西省南昌市2021届高三摸底测试数学（理））若双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的离心率可以建立不等式，然后直接求解即可
【解析】由已知得，，双曲线的离心率，又由，则，化简得，故的取值范围为，故选B.
21．（河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）理科）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为2，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，，将点代入双曲线方程得，根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为，，，由余弦定理得，所以，由三角形面积公式得，得．故选B．
22．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则，，
即，，则，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
故要求椭圆的标准方程为或，故选B．
23．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】即为直线，即为曲线，，再逐项判断即可．
【解析】即为直线，即为曲线，．对于A选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示圆或椭圆，A选项错误；对于B选项，由直线方程可知，，，则曲线，不存在，B选项错误；对于C选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；对于D选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误．故选C．
24．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（文））椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果．
【解析】因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，所以，
又，∴，
∴．故选B．
25．（安徽省宣城市2019-2020学年高二下学期期末数学（文））已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆标准方程为．短轴长为，，
解得：．离心率，又，，
椭圆的标准方程为．故选．
26．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（文））已知为椭圆上一点，为坐标原点，，为椭圆的左右焦点，若，且，的面积为4，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可得为直角三角形，若设，则结合椭圆的定义和直角三角形的性质，已知条件得，，，，，从而可求出的值，进而可求出椭圆的方程
【解析】设，因为，所以，所以为直角三角形，即，因为，所以，因为的面积为4，所以，即，因为，所以，由椭圆的定义可得，所以，所以解得，，所以，所以所求椭圆方程为，故选A.
27．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）设椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为，若则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，由 可得，
所以椭圆方程是：．故选A
【点睛】本题考查了椭圆定义及椭圆的简单性质，属于简单题，解题中需要注意椭圆性质的准确应用．
28．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，
两式相减并化简得，
又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，
所以，，
即，
由于且，由此可解得，，
故椭圆的方程为．故选D．
29．（河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检）已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设O为坐标原点，的外接圆的圆心必在线段上，则有，求出，进而得，故可得椭圆的离心率．
【解析】设O为坐标原点，的外接圆的圆心必在线段上，
且有，得，即，所以，
所以，即椭圆C的离心率为．故选C
30．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
31．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（ ）
A．20 B．28 C． D．
【答案】D
【解析】因为焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，所以，解得；
如图，根据椭圆的定义可得，，所以，故选D.

32．（福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试）“”是“椭圆焦距为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，即时，椭圆焦距为，当时，，即“”是“椭圆焦距为”的充分不必要条件，故选A．
33．（黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文））已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解．
【解析】由题意，抛物线的焦点为，因为，可得，
如图所示，过点作直线于点，则，所以在直角中，，所以，所以直线的方程为，联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知．故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
34．（广东省广州市执信、广雅、六中三校2021届高三上学期8月联考）已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】抛物线（）的准线方程为，
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，
圆心到准线的距离为，所以有，解得．故选C．
35．（四川省内江市第六中学2020届高三强化训练（一）数学（文））已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】C
【分析】根据渐进线方程得出，再根据焦点得出，结合，可求出双曲线的标准方程，然后根据点斜式得出直线方程，联立方程组求出，，最后由弦长公式即可求出截得的弦长．
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．故选C
36．（云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末数学（文））已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据两个曲线的焦点重合即可求得的值，从而求得双曲线的渐近线方程，然后利用焦点到渐近线的距离公式求得结果．
【解析】∵，∴，，因此该双曲线的一条渐近线的方程为，即．又焦点为或，可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．故选D．
37．（湘豫名校2020届高三下学期数学（理）联考）已知、是双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式得出点到的距离，从而得出，，，结合抛物线的定义得出，化简得，利用离心率公式得出，求解即可得出答案．
【解析】由题意可得过一三象限的渐近线方程为，则点到的距离为，所以在中，，，，∴

由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到的距离，
∴，∴，即，
∴，∴(负值舍去)．故选D.
38．（湘豫名校2020届高三联考（6月）数学（文））已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：（）上有一点（），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形的面积为，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意，双曲线的半焦距，可设一条平行线方程为，由，解得，则，又点P到直线的距离，∴，
又，∴，又，解得，，所以双曲线的标准方程是，故选C．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
39．（江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考）设分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】由于直线与双曲线的渐近线的交点在第一象限，
故其渐近线方程为，由轴，，设，
则，即，设直线的倾斜角为，，
根据直线与圆相切，设切点为，由原点到的距离为半径，且，

在直角中，，则，
又在直角中，，则，
由双曲线性质可得：，可得：，
故双曲线的离心率为，故选A．
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出 ，代入公式；方法二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
40．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．
【解析】由题意，点F为椭圆的左焦点，，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，设椭圆C的右焦点为，
 ，，
，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A．

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．
41．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高二上学期10月月考）已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据椭圆的定义求出的长度，再利用中位线定理求出|OM|的长度．
【解析】由椭圆的定义得
因为，所以故答案为C.
【点睛】(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力．(2)在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题，这是一个一般的规律．
42．（安徽省宣城市2019-2020学年高二下学期期末数学（文））已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程，由此得到关于离心率的方程求得结果．
【解析】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，焦点坐标为，，
不妨设为第一象限内的点，则，，则，
由余弦定理得：，
，，又，，
．故选．
【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程．
43．（云南省红河州2020届高三高考数学（理科）一模试题）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】设椭圆的方程为，双曲线方程为，点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得：，，解得，，
在中，由余弦定理得：，
即：，整理得：，
所以，，即，当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为.故选B.
44．（四川省江油中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理））设命题；命题若，则方程表示焦点在轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不存在使为假，为真，又时，方程表示焦点在轴上的椭圆，为真，为假，为真，故选B．
45．（黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文））倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以 到右准线距离为，从而 倾斜角为，，选B．
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
46．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由是中点，而，∴，这样结合椭圆的定义及已知条件可得到的关系，得出离心率．
【解析】∵是中点，而，∴，设，，
则解得，又，∴，化简得．故选D．
47．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆的左焦点为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，代入得，解得，由此可得三角形ABF为直角三角形．OF=5，即c=5．由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，，，故选B
48．（吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）七模）已知经过原点的直线与椭圆相交于，两点在第二象限），，分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线平分线段，且，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，设线段的中点为，，则，利用中点坐标公式求得的坐标再由列式求得值，进一步得到，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求．
【解析】由，得，设线段的中点为，，则，
又，，，，

点、、在同一直线上，，即，
化简即可求得，，则．
故椭圆方程为．故选C
49．（四川省广安市邻水实验学校2021届高三上学期入学考试数学（文））笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．③ D．③④
【答案】C
【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误．
【解析】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；
以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；
当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令，易得，即适合题意，同理可得适合题意，
∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选C
50．（福建省泰宁第一中学2018-2019学年高二上学期第二阶段考试数学（文））已知椭圆=1(n>0)与双曲线=1(m>0)有相同的焦点，则动点P(n，m)的轨迹是(　　)
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．圆的一部分
【答案】D
【解析】∵椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，∴9-n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选D
【点睛】在用直接法探究轨迹方程时，可直接列出动点坐标所满足的关系式，但在将等式变形和化简过程中，要留心是否需要讨论，以及取值范围是否存在限制．
51．（广东省佛山市南海区2021届高三上学期8月摸底）过点的动直线交圆于，两点，分别过，作圆的切线，如果两切线交于点，那么点的轨迹是（ ）
A．直线 B．直线的一部分
C．圆的一部分 D．双曲线的一支
【答案】B
【分析】设，，由圆的对称性及直线方程的相关知识可得直线的方程为、直线的方程为，联立消去m、n即可得解．
【解析】圆的圆心，半径为2，
设，，则，由圆的对称性可得即，
当各直线的斜率均存在时，的斜率，切线的斜率，
所以直线的方程为即，
又直线的斜率，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，由可得，
所以，又圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，所以点的轨迹是直线在圆外的部分；
当直线、、、其中一条直线的斜率不存在时，点依然在该直线上；
所以点的轨迹是直线的一部分．故选B．
52．（四川省成都市第七中学2021届高三上学期开学考试数学（理））正方形中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（ ）

A．圆弧 B．线段 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】A
【分析】根据题意，以D为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为1，．由及两点间距离公式，表示出的轨迹方程．即可判断轨迹的形状．
【解析】由题意以D为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为1，则，由，可得
因为在底面内运动，且满足．由勾股定理及两点间距离公式代入可得，即，
交叉相乘，化简可得，化为标准方程可得 ，
而因为在底面内运动，所以其轨迹为一段圆弧，故选A.
二、多选题
53．（湖北省黄石市第一中学2019-2020学年高二下学期期末）经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．故选AC．
54．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】AB
【分析】分焦点在、轴上讨论，分别求出的值．
【解析】由题意知，当时，，，，
∴，解得；当时，，，，
∴，解得；故选AB．
55．（江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期暑假学情检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为2 B．渐近线方程为
C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【答案】BC
【解析】由双曲线方程，得，，，所以实轴长，故选项A错误；渐近线方程为，故选项B正确；离心率，故选项C正确；准线方程，取其中一条准线，与的交点， 点到直线的距离，故D错误．故选BC.
56．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误．故选AC
57．（湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考）已知双曲线C：的焦点与抛物线的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则下列说法正确的有( )
A．C的渐近线方程为 B．C的标准方程为
C．C的顶点到渐近线的距离为 D．曲线经过C的一个焦点
【答案】ABD
【解析】设抛物线的焦点为，双曲线C的一个焦点坐标为，
由题意可知：，所以有或（舍去），
又因为C的离心率为，所以．
选项A：因为 ，所以C的渐近线方程为，故本选项说法正确；
选项B：因为，所以C的标准方程为，故本选项说法正确；
选项C：设C的一个顶点坐标为，它到渐近线方程为的距离为
，根据双曲线和渐近线的对称性可知：C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确．选项D：当时，，而恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD
58．（重庆市第八中学2021届高三上学期阶段性测试）若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且长轴在轴上，则
C．若为双曲线，则或
D．若是双曲线，则其离心率有
【答案】CD
【解析】对于选项A，当时，曲线化为，此时为圆，故A不正确；
对于选项B，若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故B不正确；对于选项C，若为双曲线，则，解得或，故C正确；
对于选项D，若是双曲线，则或，当时， ，此时离心率．当时， ，此时离心率;故D正确．故选CD．
59．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，
点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，
在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选BC．
60．（江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考）已知抛物线过点则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
【答案】BCD
【分析】先根据抛物线过点，求得抛物线方程． 对于A，利用求解验证．对于B，设，与联立，利用求解验证．对于C，设直线方程为，与联立，利用求解验证．对于D，设，与联立，求得点，同理，利用斜率公式求解验证．
【解析】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，焦点坐标为，对于A，，故A错误．对于B，，所以，与联立得：，所以，
所以，故B正确．
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为，与联立得：，
，解得，所以切线方程为，故C正确．对于D， 依题意斜率存在，设，与联立得：，所以，即，则，所以点，同理，
所以，故D正确．故选BCD
61．（福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为
【答案】BCD
【分析】由中位线定理得平行线，从而易判断A，B，利用直角三角形把用表示后结合双曲线的定义可求得离心率，判断C，同时再计算出，判断D．
【解析】如右图，由，可得M为的中点，又O为的中点，
可得，，，，故A错误，B正确；
设，则，，
则，可得，，则双曲线的渐近线方程为即为．故C，D正确．故选BCD．

62．（江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期4月阶段性检测数学（文））在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，由题意可得，解得，又，所以，，
所以，该椭圆离心率的取值范围是．故符合条件的选项为BD．故选BD．
63．（江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试）已知曲线的方程为，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，一定是椭圆 B．当时，是双曲线
C．当时，是圆 D．当且时，是直线
【答案】BCD
【解析】对于A，若，，此时变为，不表示椭圆，故A错误；对于B，若，则可化为，表示双曲线，故B正确．对于C，若，方程变为，表示圆，故C正确．对于D，若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，故D正确．故选BCD．
64．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】结合椭圆表达式求出，判断焦距与离心率；利用两点间距离公式判断点到圆心距离的大小即可判断椭圆与圆的位置关系，同时也可求解最小值
【解析】由可知，，则焦距，离心率；设，圆心，半径为，
则，故圆D在C的内部；当取最小值时，的最小值为，
综上所述，选项BC正确，故选BC
65．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意先得出和，由内角平分线定理和椭圆的定义可得和，由余弦定理即可得出离心率的范围，结合选项可得结果．
【解析】∵，∴，，则．∵是的角平分线，∴，又，∴，，在中，由余弦定理得，∵，∴，解得．故选CD．
66．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知曲线．（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选ACD．
67．（湖南省三湘名校教育联盟2019-2020年高二下学期期末）古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】AD
【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【解析】设，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切． 圆的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，
圆C：的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．故选AD．
68．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线经过坐标原点 B．曲线关于轴对称
C．曲线关于轴对称 D．若点在曲线上，则
【答案】BCD
【解析】设，由已知，，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确．故选BCD．
69．（江苏省苏州市北外附属苏州湾外国语学校2019-2020学年高一下学期期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．在上存在点，使得
【答案】BD
【解析】设点，由，得，化简得，即，故A选项错误；
对于B选项，设，由到点的距离为，得，又，联立方程可知有解，故B选项正确；
对于C选项，设，由，得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；
对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确．故选BD．
三、填空题
70．（2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（文））抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
【答案】10
【解析】抛物线，，则焦点到准线的距离为10．故答案为10．
71．（江西九江市第一中学2019—2020学年度高二下学期期末考试数学（文））抛物线的焦点坐标是__________．
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为．故答案为
72．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________．
【答案】
【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，
所以椭圆的顶点为，焦点为，因为，所以椭圆的方程为，故答案为．
73．（广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离__________．
【答案】
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线定义，解得，代入抛物线方程求得，所以点M的坐标为，所以点M到原点的距离为，故答案为．
74．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知动点P（x，y）在椭圆C：上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，动点M是在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上运动，且|PM|为圆的一条切线，根据切线长定理，当|PF|最小时，切线长|PM|取得最小值，易知当P在右顶点时，PF取得最小值，此时|PF|=5-3=2，由切线长定理可知.
75．（广西南宁二中柳铁一中2021届高三9月联考数学文科）已知O为坐标原点，点，分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且，与y轴交于点B，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以的长度是椭圆通径的一半，即，因为，所以是三角形的中位线，即；
故答案为
76．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期开学摸底检测数学（理））过椭圆上一点P及坐标原点O作直线l与圆交于A，B两点．若存在一点P满足，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将整理化简得结合，
得，即可得，解不等式即可．
【解析】如图所示：

．
又因为，所以．若存在一点P，使得，即，解得．故答案为
77．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高二上学期10月月考）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为__________．
【答案】3
【解析】由抛物线方程可知，
，．
由线段的中点到轴的距离为，故答案为3．
78．（江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测试题（一））已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则__________．
【答案】
【解析】抛物线，焦点为，准线为，
是抛物线上一点，则，由题意可得，
由于为等边三角形，则有，
即有：，可得．故答案为．
79．（四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（文））已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为__________．
【答案】2
【解析】设，因为以为圆心的圆与直线相切且经过点，
所以，又由，即，解得，
所以抛物线的方程为，由，整理得，可得，
所以线段的中点的纵坐标为．故答案为．
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程和抛物线的方程联立，结合韦达定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
80．（云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理））已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为__________．
【答案】
【分析】先求出、、，再求出和，最后建立方程求即可．
【解析】由题意联立方程组，解得或
因为P在x轴上方，所以、，
因为抛物线C的方程为，所以，
所以，
因为，所以，
解得：，故答案为
81．（浙江省2020届高三下学期6月高考方向性考试）已知双曲线E：的离心率为2，则其渐近线方程是__________．
【答案】
【解析】由题意，双曲线可化为，
可得，则，
因为双曲线的离心率2，即，解得，
所以双曲线的渐近线的方程为．故答案为．
82．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线相互垂直，则的面积为__________．
【答案】24
【解析】椭圆中，，，
设，由，则，又，
，∴，
∴．故答案为24．
83．（湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期复学考试）平面直角坐标系中，O为坐标原点，己知A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为__________．
【答案】
【分析】根据向量共线定理得A，B，C三点共线，再根据点斜式得结果
【解析】因为，且α+β=1，所以A，B，C三点共线，
因此点C的轨迹为直线AB:
四、双空题
84．（江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考）椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴为，虚轴为，因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，平方得，化简得，所以，
所以，即，所以，因为均为正数，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为1；
85．（浙江省“山水联盟”2020-2021学年高三上学期开学考试）如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率__________；椭圆的离心率__________．

【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率．
【解析】连接，由于是圆的切线，所以．在中，，所以，所以，所以直线的斜率．，根据椭圆的定义可知．故答案为；
86．（浙江省金华市永康市2020届高三下学期6月高考适应性考试）已知双曲线的焦点坐标为__________，离心率为__________．
【答案】
【解析】方程，即，
故可得，则双曲线的焦点坐标为；
离心率．故答案为；．
87．（辽宁省大连市2019-2020学年高二上学期期末）已知方程，当这个方程表示椭圆时，的取值的集合为__________；当这个方程表示双曲线时，的取值的集合为__________．
【答案】
【解析】因为，当方程表示椭圆则解得，即，当方程表示双曲线则解得，即，
故答案为；．
88．（山东省泰安第二中学2020届高三12月测试）双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】(1)双曲线的焦点在轴上，且，渐近线方程为，
故渐近线方程为；(2)由双曲线与双曲线具有相同渐近线，可设，代入有，故，化简得.
【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的方程为，
与共渐近线方程可设为.
89．（江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期期末）已知F为抛物线（）的焦点，点，M为抛物线上任意一点，的最小值为3，则__________；若线段的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形的面积为__________．
【答案】2
【解析】过作抛物线的准线的垂线交抛物线于，交准线与于点，由抛物线的性质可得，所以，
由题意可得：，解得，所以抛物线的方程为；
由抛物线的方程可得，，所以的中点，，，
所以的中垂线的方程为，即，设，，，，
与抛物线联立，整理可得，，，
所以弦，
，所以；
故答案为2，．

90．（内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则__________，__________．
【答案】2 1
【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．
当直线AB斜率不存在时：代入，解得，从而．
当直线AB斜率存在时：设的方程为，联立，整理，得
，设，，则
从而．
（方法二）利用二级结论：，即可得结果．
91．（湖北省新高考协作体2019-2020学年高二下学期期末联考）已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为__________，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为__________．
【答案】
【解析】设点，则满足，由点到直线的距离公式得到直线的距离为，
当且仅当，时等号成立；根据抛物线的定义知，到轴的距离等于，所以到轴的距离与到直线的距离之和为，过点作直线的垂线，垂足为，则．
如图，根据图象得：，当且仅当三点共线时等号成立；故到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为．

92．（人教A版（2019） 选择性必修第二册单元测试）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为__________；双曲线渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】直线的方程为，即为，，到直线的距离为，可得：，即有，即，即，，
由于，则，解得，或．由于，即，即有，即有，故，，故渐近线方程为．