专题4.5 正态分布（B卷提升篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.5正态分布（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·山东济宁·期末）若随机变量，且，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由于，则正态密度曲线关于直线对称，

所以，故选A.

2．（2020·四川泸州·期末（理））设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，

结合正态分布密度曲线性质可得：.

故选：B

3．（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为　　

附：若，则，．

A．134 B．136 C．817 D．819

【答案】B

【解析】

由题意，，，

则

．

故直径在，内的个数约为．

故选：．

4．（2020·福建龙岩·期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意可知

则，

即故选：C

5．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试（理））2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标，单位为g，该厂每天生产的质量在的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为（    ）

参考数据：若，则，，．

A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350

【答案】D

【解析】

由题意知，，即，，即；

所以，

所以该厂每天生产的口罩总量为（件），

又，

所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为（件）．

故选：D

6．（2020·定远县私立启明民族中学三模（理））一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题得

∵

∴.

∴

∵,

∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.

故选D.

7．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学月考（理））某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（    ）

A．997 B．954 C．800 D．683

【答案】D

【解析】

由题图知，，其中，，

∴，

∴人数大约为0.6827×1000≈683.

故选：D.

8．（2020·吉林朝阳·长春外国语学校期末（理））在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（    ）

（附：则，．）

A．906 B．340 C．2718 D．3413

【答案】B

【解析】

∵，

∴阴影部分的面积

，
则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为.
故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·广东东莞·期末）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为

B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为

【答案】ABD

【解析】

对于选项A：，正确；

对于选项B C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；

对于选项D：，正确.

故选：ABD.

10．（2020·江苏省海头高级中学高二月考）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，则下列命题正确的是（    ）

A．这次考试的数学平均成绩为100

B．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同

C．分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同

D．这次考试的数学成绩方差为10

【答案】AC

【解析】

因为数学成绩服从正态分布，其密度函数，，

所以，，即.

所以这次考试的平均成绩为，标准差为，故A正确，D错误.

因为正态曲线的对称轴为，

所以分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同，故B错误；

分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，故C正确.

故选：AC

11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量，，其中，下列等式成立有(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

随机变量服从标准正态分布，

正态曲线关于对称，

，，根据曲线的对称性可得：

A.，所以该命题正确；

B.，所以错误；

C.，所以该命题正确；

D.或，所以该命题错误．

故选：．

12．（2020·江苏南通·高二期末）若随机变量，则下列结论正确的是（    ）

A．该正态曲线关于直线对称

B．若，则

C．若，则

D．当时，若，则

【答案】BD

【解析】

随机变量，则该正态曲线关于直线对称，A错；

若，则，B正确；

若，则，所以，C错；

当时，若，则，所以，D正确．

故选：BD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2020·陕西临渭·期末（理）） 设随机变量服从正态分布，若，则的值为      .

【答案】

【解析】

因为随机变量ξ服从正态分布N（3，4）

P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），所以与关于对称，

所以，所以，所以.

14．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））某班有100名学生，一次数学考试成绩服从正态分布，已知，估计该班学生成绩在120分以上的有__________名.

【答案】16

【解析】

考试的成绩服从正态分布．

考试的成绩关于对称，

，

，

该班数学成绩在120分以上的人数为．

故答案为：16．

15．（2020·广东广州·期末）已知每天从甲地去乙地的旅客人数X服从正态分布，则一天中从甲地去乙地的旅客人数超过600人的概率为______.

（结果精确到0.001，参考数据：若，则，）

【答案】

【解析】

因为，其中，，

所以.

故答案为：.

16．（2018·广东全国·华南师大附中课时练习（理））已知三个正态分布密度函数的图象如图所示,的大小关系是______________________；的大小关系是_____________________.

【答案】       

【解析】

正态分布关于对称，且越大图像越靠近右边

第一个曲线的均值比第二和第三的图像的均值小，且二，三两个的均值相等，

故

越小，曲线越瘦高，

则第二个图象要比第三个的要小，

故

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,

【解析】

（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，

从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，

故.

因此.

的数学期望为.

（2）（i）如果生产状态正常，

一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件

概率只有0.0408，发生的概率很小.

因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程

可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，

可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由，

得的估计值为，的估计值为，

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，

因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除之外的数据，

剩下数据的平均数为，

因此的估计值为.

，

剔除之外的数据，

剩下数据的样本方差为，

因此的估计值为.

18．（2020·河北邢台·高二期末）2019年，中华人民共和国成立70周年，为了庆祝建国70周年，某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：

答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）估计答对题数在内的人数（精确到整数位）.

（2）学校为此次参加竞赛的学生制定如下奖励方案：每名同学可以获得2次抽奖机会，每次抽奖所得奖品的价值与对应的概率如下表所示.

用（单位：元）表示学生甲参与抽奖所得奖品的价值，求的分布列及数学期望.

附：若，则，，.

【答案】（1）954（2）详见解析

【解析】

（1）根据题意，可得

，则

又，，所以，所以人.

故答对题数在内的人数约为954.

（2）由条件可知，的可能取值为0，10，20，30，40.

；；

；；

.

的分布列为

元.

19．（2020·陕西西安·高三月考（理））为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).

（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）求；

（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间的人数为，试求.

附：，若~，，.

【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i）；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为

.

.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，

即，

从而

（ii）由（i）可知，，

故.

20．（2020·全国高三其他（理））搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且.在电商平台上A厂生产的糖瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的糖瓷水杯的零售价为30元/件.

（1）（i）求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；

（ii）若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记X表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求；

（2）从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：

设，若以L的值越大，产品越具可购买性为判断标准.根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由.

注：若，则，，.

【答案】（1）（i）6；（ii）6826；（2）A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由见解析.

【解析】

（1）（i）根据题意，，得.

（ii）因为，，，，

由（i）知，一件搪瓷水杯等级系数X位于区间的概率为0.6826，

依题意知，所以.

（2）A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：

将频率视为概率，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的概率分布列如下：

所以，

即B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8.

因为A厂生产搪瓷水杯的等级系数的数学期望等于6，价格为36元/件，

所以，

因为B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8，价格为30元/件，

所以，

因为，故A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性.

21．（2020·陕西高三其他（理））随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．

（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；

（2）若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布，其中为样本平均数，为样本方差，求．

附：．若，则，．

【答案】（1）；（2）0.3413.

【解析】

（1）因为，所以．

因为，

所以，解得，．

因为第1组的人数为10，第2组的人数为20，第3组的人数为30．

所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．

所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率．

（2）由题意可知，

又，

所以，

故．

22．（2020·全国高三其他（理））某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.

（1）求这批树苗的高度高于米的概率，并求图（1）中，，的值；

（2）若从这批树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？

【答案】（1）概率为，，，；（2）分布列答案见解析，数学期望；（3）被签收.

【解析】

（1）由题图（2）可知，100株样本树苗中高度高于米的共有15株，

以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于米的概率为.

记为树苗的高度，结合题图（1）（2）可得：

，

，

.

因为组距为，所以，，.

（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率为

.

因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，

所以随机变量服从二项分布，

故的分布列为，

即

(或).

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又结合（1），可得

，

所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，

应认为这批树苗是合格的，将顺利被该公司签收.