【2019年高考二轮课程】数学 全国通用版 函数的图像与性质 教案

2019年高考二轮复习 函数的定义与性质
教材版本
全国通用
课时说明（建议）
2课时
知识点
函数的概念、函数的定义域、值域、函数的三种表示法、分段函数、
函数的单调性与最值、函数的奇偶性和周期性、函数的零点、指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质、幂函数的图像与性质
复习目标
1. 掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域；
2. 掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念；
3. 掌握函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
4. 掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质
5. 掌握函数零点的概念和二分法
复习重点
掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域；掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念；函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质
复习难点
求函数的值域和求抽象函数的定义域、分段函数的概念，求函数的解析式、函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值、函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用、利用指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质解决问题

一、高考回顾
函数是高中数学的核心内容，自然也是高考的重点。近几年对函数的考查，一般是一大一小。小题往往考查函数性质，函数的图像或者幂、指、对数大小的比较，偶尔跟导数结合，难度中等偏上。大题主要考查函数曲线切线的求法，单调性的讨论，函数的零点个数探求，导数与不等式，恒成立、能成立、恰成立问题，此类题综合性比较强，难度也较大。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

二、知识清单
1.思维导图

核心方法
思维特征
转化
分类
指数函数图象性质
对数函数图象性质
幂函数图象性质
核心知识
函数性质
变更主元
构造函数
分离变量
函数的概念
函数的图像
函数思想
思维载体

2.知识再现
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
2．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为
3、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为区间上的减函数；
5.函数的最大（小）值
设函数的定义域为
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
6．函数的奇偶性的定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
7.函数的周期性命定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
8.指数式与对数式
（a）．幂的有关概念
(1)零指数幂； (2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(4)负分数指数幂
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(b)．有理数指数幂的性质

(c)．根式 根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
(d)．对数
(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③

(3)对数的运算性质
① ②
对数换底公式：
对数的降幂公式：
（4）三个常用结论：①；②；③.
9、指数函数与对数函数
1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax (a>0且a≠1)
y=logax (a>0 , a≠1)
定义域
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
过定点
（０，1）
（1，０）
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称


单调性
a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a1 ? y0? y0)在区间上有四个不同的根,则
【答案】-8
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以

2.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O


【答案】B；
【解析】过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大

3.证明：满足不等式的实数的集合可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和．

【答案】
【解析】考虑函数，由于当时，，故在区间内，不存在使的实数；
对于集中的任一个，由于当时，，而当
时，，且当时，，所以方程在区间
内各有一个解；依次记这个解为，
于是函数的图像大致如下：









今构作多项式，由于是一个次多项式，故方程至多有个互异根，显然每个使的都是的根（注意
都不是的根，因为每个均使无意义）．
因此便是的全部根．这表明,每个是其所在区间
,及中的唯一根．
从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为
…… ①
注意 … ②
如将展开，其最高项系数为，设
…… ③
又有 …… ④
据③④得， （其中为的的系数）
下面由②直接计算的系数:
由于在中，的系数是，（这是因为，在中，的系数为，．）
所以中的的系数是，即；
从而．由①得，.

题型三 函数的性质

1.设函数，且在闭区间上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.

【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）方法一：若是偶函数，则

于是有，这与在闭区间上，只有矛盾
故不是偶函数；
若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数
又由知，，而，所以，又
所以，可见不是偶函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
（Ⅱ）方法一：因为

所以，即
所以，即
又，所以和都是方程的根
由和及得到

故方程在闭区间上的根至少有802个
如果存在使得，则
但，这与在闭区间上，只有矛盾
故在上只有两个根，即和
设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得
，且
由上可知或，所以或（）
所以故方程在闭区间上仅有802个根
方法二：由
知是周期为10的函数，
由知的图象关于直线对称
又因为在上仅有所以在上没有根
即在上只有两个根，即和
于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。
所以故方程在闭区间上仅有802个根

2.定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式。

【答案】
【解析】⑴当时，
又为奇函数，，
当时，由有最小正周期4，

综上，
3.已知函数的图象在上连续不断，定义：
，，
其中表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.
若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

【答案】最大值．
【解析】（Ⅰ）由题意可得，，，.
（Ⅱ），，
，
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故，
综上所述，.
即存在，使得是上的4阶收缩函数.
（Ⅲ），令，得或.
函数，的变化情况如下：
x

0

2


-
0
+
0
-

减
极小值0
增
极大值4
减
令，解得或3.
（ⅰ）时，在上单调递增，
因此，，.
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立.
①即：对恒成立，
由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需.
②即：存在，使得成立.
由得或，
所以需且只需.
综合①②可得：.
（ⅱ）当时，，，
此时，
若是上的2阶收缩函数，
则对恒成立，
则对恒成立，
即在上恒成立，
而解，得或，
故在上不可能恒成立，
故时不符合条件.
（ⅲ）当时，，，
此时，
若是上的2阶收缩函数，
则对恒成立，
则对恒成立，
即在上恒成立，
而解，得或，
故在上不可能恒成立，
故时不符合条件.
综合以上，可得：.





五、 课堂小结
1.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
2.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
注：若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.
3.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
4.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象