四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：8.权方和不等式
展开A8权方和不等式
一、基础知识
权方和不等式：设均为正数,当则
当则当且仅当取等.
二、典型例题与基本方法
1.已知是正常数,是锐角,求函数的最小值.
2.已知证明：
3.已知证明：
4.已知正实数满足证明：当时,
5.设证明：
当且仅当取等.
6.已知满足的正数,求证：.
7.设且
数列为正项等差数列,又
证明：
8.正整数为正实数,且求的最小值.
B8.练习 姓名：
1.设证明：
2.设且证明：
3.已知正实数满足证明：当时,
A8权方和不等式
一、基础知识
权方和不等式：设均为正数,当则
当则当且仅当取等.
证明：(1)当
令则且由Hölder不等式得证.当且仅当为常
数,即当且仅当取等.
(2)当则有(1)知道即
当且仅当取等.
(3)当
令则且由Hölder不等式得证.当且仅当取等.
二、典型例题与基本方法
1.已知是正常数,是锐角,求函数的最小值.
解：使用权方和不等式
当且仅当即也就是取等.
所以当时,函数的最小值为.
2.已知证明：
证明：
所以得证.
3.已知证明：
证明：因为所以
4.已知正实数满足证明：当时,
证明：记则
由权方和不等式
于是只需证明即证明
即证明因为所以得证.
5.设证明：
当且仅当取等.
证明：
因为且
于是由Hölder不等式一般形式得
当且仅当成比例.即取等.
这就证明了权方和不等式推广.
6.已知满足的正数,求证：.
证明：于是所以
7.设且
数列为正项等差数列,又
证明：
证明：
这里用到了第5题的结论.
因为又数列为正项等差数列.
所以
所以
又由代数恒等式和
知道于是
故
这就证明了原不等式.
8.正整数为正实数,且求的最小值.
解：第7题中由第7题知道
当且仅当时
所以的最小值为
B8练习 姓名：
1.设证明：
证明：使用权方和不等式
当且仅当时取等.
因为而时,.
于是
2.设且证明：
证明：
因为所以
3.已知正实数满足证明：当时,
证明：记则
由权方和不等式
于是只需证明即证明即证明
因为所以得证.
