四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：6.幂平均
展开A6幂平均
一、基础知识
设均为正数,为的次幂平均.
于是
二、典型例题与基本方法
1.(幂平均不等式)设均为正数,若,则当且仅当取等.
2.给定正整数当时,求的最小值.
3.若且求的最小值.
4.若实数满足且这里的均为常数,
求的最小值.
5.(加权幂平均不等式)设均为正数,称为的次加权幂平均,若,则当且仅当取等.
6.用加权幂平均不等式证明加权平均值不等式：若且则
当且仅当取等.
B6练习 姓名：
1.设均为正数,且证明：
2.已知证明：
3.用幂平均不等式证明：设都是正数,且则：
A6幂平均
一、基础知识
设均为正数,为的次幂平均.
于是
因为
于是
因为
注意到所以
因为
所以
二、典型例题与基本方法
1.(幂平均不等式)设均为正数,若,则当且仅当取等.
证明：(1)设则令则
因为
所以于是可以设其中
因为所以又所以由伯努利不等式的推广知道
于是
于是于是
(2)设,则于是由(1)知道注意到
于是容易得到
(3)设,则类似于(1)可证明.
(4)若或为0,则利用(1)(2)(3)的极限可证明.
于是幂平均不等式得证.
2.给定正整数当时,求的最小值.
解：所以
当时等号成立,所以的最小值为
3.若且求的最小值.
解：
又于是
于是
所以当且仅当取等.
的最小值为
4.若实数满足且这里的均为常数,
求的最小值.
解：幂平均不等式
即
于是
当且仅当取等.
所以当时
的最小值为
5.(加权幂平均不等式)设均为正数,称为的次加权幂平均,若,则当且仅当取等.
证明：(1)若都是正整数,这时
用到了幂平均不等式.
(2)若都是正有理数,不妨设其中是互质的正整数,这时
用到了(1).
(3)若都是正实数,这时我们一定可以选取个有理数数列使得
有(2)知道即
于是从而
即于就是
这就证明了加权幂平均不等式.
6.用加权幂平均不等式证明加权平均值不等式：若且则
当且仅当取等.
证明：令则于是
在令于是即
于是所以
B6.练习 姓名：
1.设均为正数,且证明：
证明：幂平均不等式即
因为所以
于是得证.
2.已知证明：
证明：幂平均不等式即
于是
因为即于是所以
两边同时减4得
3.用幂平均不等式证明：设都是正数,且则：
证明：因为
所以于是同理有
两式相乘得
于是
