四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式

一、基础知识

排序不等式：设,是的任意一个排列.

则当且仅当或时取等.

可简记为反序和乱序和同序和.

切比雪夫不等式：设,则

设,则

当且仅当或时取等.

二、典型例题与基本方法

1.用排序不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

2.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

3.已知,证明：

4.设是的三边长,证明：

5.设且证明：

6.设且

求的最小值.

7.设且满足证明：

8.设证明：

B4.练习       姓名：              

1.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

2.设求证：

3.设都是正数,且求证：

A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答

一、基础知识

排序不等式：设,是的任意一个排列.

则当且仅当或时取等.

可简记为反序和乱序和同序和.

证明：

.

于是当且仅当或时取等.

于是当且仅当或时取等.

切比雪夫不等式：设,则

设,则

当且仅当或时取等.

证明：法1由排序不等式知道

于是即

当且仅当或时取等.

法2

于是

于是当且仅当或时取等.

二、典型例题与基本方法

1.用排序不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

证明：由排序不等式知道

即

令

于是即

于是所以当且仅当取等.

2.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

证明：不妨设则

由切比雪夫不等式知所以当且仅当取等.

3.已知,证明：

证明：不妨设则由排序不等式知

又于是再使用排序不等式得

所以

4.设是的三边长,证明：

证明：等价于证明

再等价于(*)

不妨设则

又是的三边长,所以从而即

因为从而即

所以

由排序不等式知

即于是(*)得证.从而

5.设且证明：

证明：不妨设则

先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得

于是

6.设且

求的最小值.

解：.

不妨设则

使用切比雪夫不等式有

在使用柯西不等式得

当且仅当等号成立.所以的最小值为

7.设且满足证明：

证明：因为所以

又所以

不妨设于是

这是因为在单调递增,在单调递减.

于是使用切比雪夫不等式得

因为所以

于是

因为

所以

8.设证明：

证明：即证

因为

同理

于是

于是只须证明(*)

不妨设于是从而即

所以又

使用排序不等式得

于是(*)得证.从而

B4.练习       姓名：              

1.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.

证明：不妨设

由切比雪夫不等式知

所以当且仅当取等.

2.设求证：

证明：所证不等式等价于(*)

不妨设则

使用排序不等式得(*).

所以原不等式成立.

3.设都是正数,且求证：

证明：不妨设于是

使用切比雪夫不等式得

使用柯西不等式得

于是