10.基础小卷速测（十） 等边（腰）三角形相关计算与证明

基础小卷速测（十） 等边（腰）三角形相关计算与证明一、选择题1.等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则它的周长为（   ）A．17cmB．19cmC．21cmD．17cm或19cm2.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)A．40°　　B．50°　　C．60°　　D．70°3．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N,作直线MN，交BC于D，连接AD，则∠BAD的度数为（   ）A.65°  B.60°   C.55°   D.45° 4．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．其中正确的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为(     ).A.44°     B.66°      C.88°      D.92°二、填空题7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为______．  8.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是______．1．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______． 10.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 ______个．三、解答题11.如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．12.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．13.如图，△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形． 14．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC=5，求△PDE的周长．15．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；（2）∠ECD=60°．参考答案1. D           2.D        3．A    4．C  【解析】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．5．D  【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，
∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC=30°，
∴∠CBD=∠DEC，
∴DB=DE．
∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°.
所以这四项都是正确的．
6．D【解析】∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°-∠A-∠B=92°。7．55°【解析】AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°-70°）=55°。8.  18°【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-72°=18°。
9． 15°【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°.
10.  8【解析】∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°，
∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BEF，△CDF，△BCF，△BCE，△BCD均为等腰三角形，
∴共有8个等腰三角形.11.证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．12.解:（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD。
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=×(180°−30°)＝75°．13.证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°，
∴∠A=90°-∠D，∠C=90°-∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D．
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF．
∴∠A=∠C．
∴△ABC为等腰三角形．14．解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
又∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5．1．证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC，
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=AC+CD。
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∴∠ECD=60°.