初中数学北师大版九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积教学设计，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

1．了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)


2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长l＝eq \f(nπR,180)和扇形面积S扇＝eq \f(nπR2,360)的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)











一、情境导入





如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π 取3.14)?


我们容易看出这段铁轨是圆周长的eq \f(1,4)，所以铁轨的长度l≈eq \f(2×3.14×100,4)＝157(米). 如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？


二、合作探究


探究点一：弧长公式


【类型一】 求弧长


如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )





A.eq \f(π,4)cm B.eq \f(7π,4)cm C.eq \f(7π,2)cm D．7πcm


解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R＝eq \f(7,2)cm，则“蘑菇罐头”字样的长＝eq \f(90π×\f(7,2),180) ＝eq \f(7π,4)(cm)．故选B.


方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题


【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角


(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq \f(π,2)，则该扇形的半径是________；


(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是eq \f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为________．


解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得eq \f(45×π×R,180)＝eq \f(π,2)，解得R＝2；(2)根据弧长公式得eq \f(n×π×1,180)＝eq \f(π,3)，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.


方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题


【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合








如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D.


(1)求证：AE是⊙O的切线；


(2)当BC＝4，AB＝8时，求劣弧AC的长．


解析：(1)连接BC，由AB是⊙O的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，又由∠EAC＝∠D，则可得AE是⊙O的切线；(2)首先连接OC，易得∠ABC＝60°，则可得∠AOC＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．


(1)证明：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC＋∠ABC＝90°.又∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；


(2)解：如图，连接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.∴劣弧AC的长＝eq \f(120·π×4,180)＝eq \f(8π,3).


方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．


探究点二：扇形的面积公式


【类型一】 求扇形面积


一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．


解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝eq \f(nπr2,360)＝eq \f(120×32π,360)＝3π.故答案为3π.


方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝eq \f(1,2)lr，其中l是弧长，r是半径．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题


【类型二】 求阴影部分的面积


如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是( )





A.eq \f(4π,3)－2eq \r(3)


B．2π－2eq \r(3)


C.eq \f(4π,3)－eq \r(3)


D.eq \f(2π,3)－eq \r(3)


解析：连接OC，过O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120°，C为eq \(AB,\s\up8(︵))中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，∴△AOC的边AC上的高OM＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，△BOC边BC上的高为eq \r(3)，∴阴影部分的面积是(eq \f(60π×22,360)－eq \f(1,2)×2×eq \r(3))×2＝eq \f(4π,3)－2eq \r(3).故选A.


方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题


【类型三】 求不规则图形的面积


如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为( )





A．4π－2


B．2π－2


C．4π－4


D．2π－4


解析：连接AB，由题意得阴影部分面积＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2(eq \f(90π×22,360)－eq \f(1,2)×2×2)＝2π－4.故选D.


方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题


三、板书设计


弧长及扇形的面积


1．弧长公式：l＝eq \f(nπR,180)


2．扇形的面积公式：S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 eq \f(1),\s\d5(2))lR





本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积公式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展.