初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积教学设计

教学目标

1.探索n°的圆心角所对的弧长l＝，扇形面积S＝和S＝lR的计算公式．

2.掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．

教学重难点

重点：会利用弧长及扇形的面积公式解决问题．

难点：探索弧长及扇形面积的计算公式，利用公式解决问题．

教学过程

知识回顾

1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？

C＝2πR，S＝πR².

2.什么叫圆心角？

角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点，这样的角叫做圆心角．

导入新课

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如图所示，在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2 m的圆形喷水池，你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗？

教师引导学生思考下面的问题并回答：

1.五个阴影部分都是什么图形？

2.五个图形的圆心角度数的和是多少？

学生分析：五个阴影部分都是扇形，五个扇形的圆心角度数的和是540°．

问题：扇形的面积和圆的面积有什么关系？

设计意图：通过对扇形面积的探索，让学生初步感知扇形与圆的关系，为下面对其面积公式的探索打下了良好的基础．

探究新知

一、预习新知

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如图所示，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

教师引导学生思考下面的问题，并回答：

1.转动轮转一周，传送带上的物品应被传送的实际距离是　　　　的周长．

2.转动轮转1°，可以表示成360°的圆心角的　　　　，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的　　　　． 

3.转动轮转n°，可以表示成360°的圆心角的　　　　，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的　　　　．

学生独立思考，然后小组相互交流，教师巡视并参与到学生的讨论中去，代表发言师生共同订正，教师给出规范步骤．

解：(1)传送带上的物品A被传送的距离是：2π×10＝20π(cm)．

(2)传送带上的物品A被传送的距离是：＝(cm)．

(3)传送带上的物品A被传送的距离是：n×＝(cm)．

根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家小组讨论．

教师引导学生分析：360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为＝，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×＝．

学生总结：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：l＝．

设计意图：让学生回顾圆的有关知识，并利用圆的性质探索推导弧长公式，并掌握用公式解决实际问题的一般思路．

跟踪练习

在半径为12 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（）

A.24πcm               B.12πcm

C.10πcm               D.5πcm

答案：C

二、合作探究

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在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

师：这只狗的最大活动区域有多大？

教师出示示意图供学生分析．

生：这只狗的最大活动区域是半径为3 m的圆，它的面积为：32π＝9π(m2)．

师：如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生独立思考，然后小组讨论．

生：狗的活动区域是扇形(如图②所示)，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应扇形的面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的扇形的面积为n×＝．

师：类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇形的面积计算公式吗？

学生动手操作，然后小组讨论交流，最后学生代表展示成果．

师生总结：如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·＝．

教师点评：扇形面积的计算公式为S扇形＝，其中R为扇形的半径，n°为圆心角．

提出问题：比较弧长公式与扇形面积公式之间有什么关系？

学生观察后，尝试推导l和S之间的关系，然后与同伴交流，找学生代表展示推导过程．

师生共同总结：弧长l与扇形面积S之间的关系：S扇形＝lR．

设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式，由于少部分学生对弧长与扇形面积之间的关系掌握仍有些困难，因此引导他们采用类比的方法进行探究，这样可以让部分学生恢复解题的自信．

典型例题

【例】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长．(精确到0.1米)

【问题探索】要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以本题还需要考虑作辅助线．

【解】由题意，得BE＝2米，AC＝3米，CD＝0.5米．

如上图，过点B作BG⊥AC于点G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5（米）．

∵AB＝2AG，∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.

根据对称性，知∠BAF＝120°，

∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．

【总结】如果题目中直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代入公式就可以解决；如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．[来源:学科网]

课堂练习

1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为(　　)

A.π B.2π 

C.3π D.12π

2．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧的长为（　　）

A.π B.π 

C.2π D.π

3.如图，每个圆的半径都是1 cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）

A.π B.π 

C.π D.π

4.如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点．

（1）求的长；

（2）求阴影部分的面积．

参考答案

1.C　2.D　3.B

4.解：（1）如图，连接OC，OD．

∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，

∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°．

又∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝CD＝8（cm），

∴的长l＝＝π（cm）．

（2）∵∠OCD＝∠AOC＝60°，∴CD∥AB，∴S△OCD＝S△PCD，

∴S阴影＝S扇形OCD＝＝π（cm²）．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.弧长的计算公式及运用.

2.扇形的面积计算公式及运用.

3.弧长l及扇形的面积S之间的关系公式及运用.

板书设计

第三章　圆

9　弧长及扇形的面积

1.弧长的计算公式：l＝；扇形面积的计算公式：S扇形＝．

2.弧长l与扇形面积S之间的关系：S扇形＝lR．

教学反思

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