初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试同步练习题

这是一份初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试同步练习题，共12页。

类型之一 直线与圆的位置关系


1．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )


A．0≤b＜2 eq \r(2) B．－2 eq \r(2)≤b≤2 eq \r(2)


C．－2 eq \r(3)＜b＜2 eq \r(3) D．－2 eq \r(2)＜b＜2 eq \r(2)


2．如图2－X－1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.


(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？


(2)当OC的长为多少时，⊙O与直线AB相切？





图2－X－1




















类型之二 切线的判定与性质


3．如图2－X－2，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB长的最小值为( )


A.eq \r(13) B.eq \r(5) C．3 D．2


图2－X－2


图2－X－3








4．2017·枣庄如图2－X－3，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长为________．


5．如图2－X－4所示，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连结PC交⊙O于点B，连结AB，已知PC＝10，PA＝6.


求：(1)⊙O的半径；


(2)cs∠BAC的值．





图2－X－4








6．如图2－X－5，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD.若∠AEC＝∠ODC.


(1)求证：直线CD为⊙O的切线；


(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．





图2－X－5











7．如图2－X－6，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F，点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D.


(1)求证：直线AE是⊙O的切线；


(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cs∠BAD＝eq \f(3,4)，CF＝eq \f(10,3)，求BF的长．





图2－X－6





类型之三 切线长定理


8．如图2－X－7所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．





图2－X－7


类型之四 三角形的内切圆


9．图2－X－8是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边长分别为6 m和8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )


A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m


图2－X－8


图2－X－9


10．如图2－X－9，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，则Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为________．


11．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？


古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)(其中a，b，c是三角形的三边长，p＝eq \f(a＋b＋c,2)，S为三角形的面积)．


请解决以下问题：


如图2－X－10，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.


(1)用海伦公式求△ABC的面积；


(2)求△ABC的内切圆半径r.





图2－X－10























类型之五 数学活动


12．如图2－X－11所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－eq \f(9,4)，0)，点C(0，3)，B是x轴上一点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.


(1)求∠ACB的度数．


(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点，求抛物线所对应的函数表达式．


(3)线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．





图2－X－11

















详解详析


1.D [解析] 如图，直线y＝－x平分二、四象限，将直线y＝－x向上平移得直线y＝－x＋b1，当直线y＝－x＋b1与⊙O相切于点C时，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴OA＝b1＝2 eq \r(2)，同理将直线y＝－x向下平移，得直线y＝－x＋b2，当直线y＝－x＋b2与⊙O相切时，此时b2＝－2 eq \r(2)，∴当直线y＝－x＋b与⊙O相交时，b的取值范围为－2 eq \r(2)＜b＜2 eq \r(2).





2．解：(1)如图所示，过点C作CM⊥AB，垂足为M.


在Rt△ABC中，


AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5.


∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CM，


∴CM＝eq \f(12,5).


∵eq \f(12,5)＞2，∴当圆心O与点C重合时，⊙O与直线AB相离．





(2)如图所示，设⊙O与AB相切，过点O作ON⊥AB于点N，则ON＝r＝2.


∵CM⊥AB，ON⊥AB，∴ON∥CM，


∴△AON∽△ACM，


∴eq \f(AO,AC)＝eq \f(ON,CM).


设OC＝x，则AO＝3－x，∴eq \f(3－x,3)＝eq \f(2,\f(12,5))，


∴x＝eq \f(1,2)，∴当OC＝eq \f(1,2)时，⊙O与直线AB相切．


3．B


4．π [解析] 如图，连结OE，OF，





∵CD是⊙O的切线，


∴OE⊥CD，


∴∠OED＝90°.


∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.


∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，


∴∠DFO＝120°，


∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴eq \(EF,\s\up8(︵))的长为eq \f(30π,180)×6＝π.故答案为π.


5．解：(1)∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，


∴PA⊥AC.


在Rt△ACP中，PA＝6，PC＝10，


∴AC＝eq \r(PC2－PA2)＝8，


∴AO＝eq \f(1,2)AC＝4.


故⊙O的半径为4.


(2)∵AC为⊙O的直径，


∴∠ABC＝90°.


又∵∠PAC＝90°，∠ACB＝∠PCA，


∴△ABC∽△PAC，


∴∠BAC＝∠P，


∴cs∠BAC＝csP＝eq \f(PA,PC)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).


6．解：(1)证明：连结CO.


∵圆周角∠AEC与∠ABC所对的弧相同，


∴∠ABC＝∠AEC.


又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC.


∵OC＝OB，OD⊥BC，


∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°.


∴∠ODC＋∠COD＝90°，


∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，


即OC⊥CD.


又OC为⊙O的半径，


∴直线CD为⊙O的切线．


(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，


∴BF＝CF＝eq \f(1,2)BC＝2.


又OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)，


∴OF＝eq \r(OB2－BF2)＝eq \f(3,2).


由(1)知∠OBF＝∠CDF，且∠OFB＝∠CFD，


∴△OFB∽△CFD，


∴eq \f(OF,OB)＝eq \f(CF,CD)，∴CD＝eq \f(OB·CF,OF)＝eq \f(\f(5,2)×2,\f(3,2))＝eq \f(10,3).


7．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，


∴∠BCA＝90°，


∴∠B＋∠BAC＝90°.


∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，


∴∠EAC＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，


∴BA⊥AE.


又∵AB是⊙O的直径，


∴直线AE是⊙O的切线．





(2)如图，过点F作FH⊥BC于点H，


∵∠BAD＝∠BCD，


cs∠BAD＝eq \f(3,4)，


∴cs∠BCD＝eq \f(3,4).


在Rt△CFH中，∵CF＝eq \f(10,3)，


∴CH＝CF·cs∠BCD＝eq \f(10,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(5,2).


∵BC＝4，


∴BH＝BC－CH＝4－eq \f(5,2)＝eq \f(3,2).


∵AB是⊙O的直径，


∴∠BCA＝90°.


∵∠BAC＝30°，


∴∠B＝60°，


∴BF＝eq \f(BH,cs60°)＝eq \f(\f(3,2),\f(1,2))＝3.


8．解：设DE＝x cm，则CE＝(4－x)cm.


∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，


∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4 cm，


∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm.


在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，


即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3.


∴S△ADE＝eq \f(1,2)AD·DE＝eq \f(1,2)×4×3＝6(cm2)．





9．C [解析] 在Rt△ABC中，BC＝8 m，AC＝6 m，


则AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(82＋62)＝10(m)．


∵中心O到三条支路的距离相等，设该距离是r m.


△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，即eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·r＋eq \f(1,2)BC·r＋eq \f(1,2)AC·r，


∴6×8＝10r＋8r＋6r，


∴r＝eq \f(48,24)＝2.


故O到三条支路的管道总长是2×3＝6(m)．


故选C.


10.eq \r(5) [解析] 根据题意，得⊙I的半径r＝eq \f(AC＋BC－AB,2)＝2.


连结ID，IE，IF，IO，则四边形CEID为正方形，∴ID＝CE＝2，BF＝BE＝4，OF＝1，在Rt△IFO中，IO＝eq \r(OF2＋IF2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).


11．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，


∴p＝eq \f(BC＋AC＋AB,2)＝eq \f(5＋6＋9,2)＝10，


∴S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)


＝eq \r(10×5×4×1)＝10 eq \r(2).


故△ABC的面积为10 eq \r(2).


(2)∵S＝eq \f(1,2)r(AC＋BC＋AB)，


∴10 eq \r(2)＝eq \f(1,2)r(5＋6＋9)，


解得r＝eq \r(2)，


故△ABC的内切圆半径r为eq \r(2).


12．解：(1)90°.


(2)在Rt△ABC中，


∵OA·OB＝OC2，∴OB＝4.


即点B的坐标为(4，0)．


设抛物线所对应的函数表达式为


y＝a(x－4)(x＋eq \f(9,4))＝ax2＋bx＋3.


比较常数项得a＝－eq \f(1,3)，


∴抛物线所对应的函数表达式为


y＝－eq \f(1,3)(x－4)(x＋eq \f(9,4))．


(3)存在．直线BC所对应的函数表达式为3x＋4y＝12，设点D的坐标为(x，y)．


①若BD＝OD，则点D在OB的垂直平分线上，点D的横坐标为2，纵坐标为eq \f(3,2)，


即D1(2，eq \f(3,2))．


②若OB＝BD＝4，则eq \f(y,CO)＝eq \f(BD,BC)，eq \f(x,BO)＝eq \f(CD,BC)，


得y＝eq \f(12,5)，x＝eq \f(4,5)，即D2(eq \f(4,5)，eq \f(12,5))．


综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，符合条件的点D的坐标为(2，eq \f(3,2))或(eq \f(4,5)，eq \f(12,5))．