【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）试题

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）试题www.ks5u.com 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（   ）A．          B．         C．       D．2．（   ）A．               B．          C．          D．3．已知双曲线，则的离心率为（   ）A．   B．            C．   D．4．展开式中的系数为（   ）A．               B．             C．    D．5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，．下列结论正确的是（   ）A．若，则                    B．若，则C．若，则                 D．若，则6．函数的图象大致是（   ）A.                  B.                 C.                 D. 7．已知平行四边形中，为坐标原点，，，则（   ）A．  B．   C．  D．8．已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（   ）A．   B．          C．          D．9．法国学者贝特朗于年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案. 现给出其中一种解释：固定弦的一个端点，另一端点在圆周上随机选取，其答案为（   ）A．            B． C．            D．10．如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（    ）A．棱长都为2的四面体    B．棱长都为2的直三棱柱C．底面直径和高都为2的圆锥   D．底面直径和高都为2的圆柱11．设点为抛物线：的准线上一点（不同于准线与轴的交点），过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，设，，的斜率分别为，，，则的值为（    ）A． B． C． D．12．已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（   ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．满足，，三个数成等差数列的一组，的值分别为___________．14．若变量，满足则的最小值为___________． 15．已知函数，若对任意实数都有，则的最小值为              ． 16．已知函数．若有两个零点，则实数的取值范围是              ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求；（2）若，，求的面积．    18．（12分）某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：78648810453828693901057792116816082741059110378881078271 （1）完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；数学成绩的茎叶图 数学成绩                                                 （2）确定该样本的中位数和众数；（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”．从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间的学生人数为，求的分布列和数学期望．   19．（12分）已知等比数列的前项和为 ， ，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．   20．（12分）阳马和鳖臑（biē nào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如下图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．      长方体                       堑堵                    堑堵再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥），称为鳖臑． 堑堵                         阳马                      鳖臑（1）在阳马（四棱锥）中，连接，若，证明：；（2）若，，，求鳖臑（三棱锥）中二面角余弦值的大小．        21．（12分）已知椭圆（），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．（1）若为椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程；（2）若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由.        22．（12分）已知函数（）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若是的唯一极值点，求.        
【参考答案】一、选择题题号123456789101112答案DABC CCBBBDAA二、填空题13．,（满足即可）  14．     15．     16．三、解答题17．解：（1）由正弦定理得：，所以，即，     ………………3分因为，所以，又因为，故．                      ……………………5分（2）由余弦定理得，，因为，， 所以有，解得，或（舍去）.                             …………8分所以的面积．                  …………10分18．解：（1）数学成绩的茎叶图如下： 数学成绩53      604     714788  8122268890123   1034557  116      …………………………………………………………4分（2）样本中位数为86，众数为82．           ……………………………………………………8分（3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间的有4人，其余有6人，，1，2，3，，，，，的分布列为：0123．……………………………………12分19．解：（1）设数列的公比为，因为，所以，故，……………………………………………2分又因为，即，解得，…………………………5分 所以．                      ……………………………………6分（2）设，由（1）知，……………………………………8分所以，，故数列为首项为6，公比为4的等比数列，…………………10分所以，数列的前项和为．…………12分20．（1）证明：连接,因为四边形是矩形, ，所以矩形是正方形， 所以，    ………………………………2分因为平面，平面，所以，    ………………………………3分因为,平面，平面，所以平面，         ……………………………………5分因为平面，所以.                ……………………………………6分（2）如图，鳖臑（三棱锥）中的二面角，即为堑堵中的二面角，在堑堵中，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.  …………7分则，，,,.于是，，求得平面的一个法向量是，………………………………………9分于是，，求得平面的一个法向量是，   ……………………………………11分所以.所以，鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值是.    ………12分21．解：（1）因为为椭圆的一个焦点，则，得，…………2分椭圆的标准方程为.                               ……………4分（2）因为椭圆的右焦点，设，，，当直线为轴时，，，三点共线，四边形不存在，故可设直线的方程为，                          ……………6分由 得，显然，则，                                          ……………8分若四边形为平行四边形，则，即，.     …………10分因为在上，所以，即，化简，得，，综上，四边形能为平行四边形，此时，直线的方程为，即.                         ………12分22．解：（1）由题意，得，定义域为. ，令，得.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间.   ……………………4分（2）由题意，得，，.由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一，对任意的恒成立；情形二，对任意的恒成立.……………………………6分设，，且有，.①当时，，则.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以对任意的恒成立，符合题意.…………………………8分②当时，，则在上单调递增.又，，所以存在，使得.当时，，在上单调递增，所以，这与题意不符.    ……………………………………10分③当时，设，，则；令，得.所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.ⅰ）当时，，由于在上单调递减，则当时，，在上单调递减；所以，这与题意不符.ⅱ）当时，，由的单调性及，知，时，都有.又在上单调递增，，则存在，使得，所以当时，，在上单调递减；所以，这与题意不符.综上，得.               ……………………………………………12分