【数学】安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）
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高二下学期开学考试（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）
1.已知集合若，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
2.已知命题在第一象限单调递增，命题,则下列命题中为真命题的是 （ ）
A. B. C. D.
3.若是函数的两个不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 （ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列
命题：
（1）与所在直线平行；
（2）与所在直线异面；
（3）与所在直线成角；
（4）与所在直线互相垂直.其中正确命题的
个数是（ ）
A. B. C. D.
5.设分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
6.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，,,则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.已知点，若圆上存在点（不同于点）使得，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D
8.已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A. B. C. D.
9.已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A.既是偶函数又是周期函数 B.的最大值是1
C．的图像关于点对称 D.的图像关于直线对称
10.记已知向量满足
且，则当取最小值时，= （ ）
A. B. C. D.
11.已知为双曲线的右焦点，为双曲线的右准线，为双曲线右支上两个动点，且，线段的中点在上的投影为，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
12.已知在棱长为的大正四面体内放一个小正四面体.若小四面体可在大四面体内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设满足约束条件则的最大值为 .
14.若，则 .
15.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选种菜的，下星期一会有﹪改选种菜；而选种菜的，下星期一有﹪改选种菜.用分别表示在第个星期选的人数和选的人数，如果，则 .
16.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分)
在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若角边上中线，求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，在四面体中，已知，且
（1）求证：；
（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于有
(1)若时，求的最小值；
（2）若时，求的值.
20.（本小题满分12分）
函数是定义在上的函数，且满足下列条件：
①；②时，；③对时，有.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）解不等式：.
21.（本小题满分12分）
已知圆心为的圆和定点是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线相交于和，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；
（2）当时，函数的图像与轴交于两点，且，且正常数满足条件，求证：.
参考答案
一．选择题：1-12、BCDBD AAABA CB
二．填空题：13.8 14. 15.300 16.
三．解答题：
17：
（1）由得
又所以，又，所以.
（2）由知.在中由余弦定理得
，求得，所以.
18：（1）取中点，连结，因为，所以.又，
，所以.又，
所以.又，所以.
（2）由（1）知，即二面角的平面角，即.
过作平面的垂线，垂足为，由（1）知，点在的延长线上，
所以，建立空间直角坐标系.因为所以.
所以
所以，则，
，设平面的法向量，则即
取，则得平面的法向量.
设与平面所成角为，则
19.（1）因为，当时，不为正整数，与题设矛盾.
当时，必为偶数，此时
由得.于是，要使为正整数且最小，则，从而
（2）由得易知为周期为的摆动数列，且易得
于是
由此可得，当
20.
（1）；
（2）利用单调性的定义得在上单调递减；
（3）构造函数利用单调性得不等式的解集为.
21.
（1）；
（2）.
①当直线的斜率不存在和等于零时，；
②当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率也存在，于是可设直线的方程为，则直线的方程为.将直线的方程与曲线的方程联立得：，
将换成得
令，则，
.由得.
综合①②得的取值范围是.
22.
（1）因为，所以.因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根.由得：
.又当时，有重根，
综上得.
（2）因为，又有两个实根，所以
两式相减得，
则.
于是
.
因为且，则，所以.
要证明，可尝试证明，只需证明.令，证明即可.
在上单调递增，.
故成立.
