【数学】河北省大名县第一中学2019-2020学年高二12月月考试题（清北组）
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高二12月月考试题（清北组）
一、选择
1．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．命题“对，都有”的否定为（ ）
A．对，都有 B．，使得
C．，使得 D．，使得
3．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题
C．命题“，”的否定为“，”
D．若，则
4．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．设，是椭圆：的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）
A． B． C． D．
8．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为（ ）
A．45° B．60°
C．120° D．150°
9．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
12．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则( )
A． B．
C． D．
| 二、填空题 |
13．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围为____________.
14．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______。
15．已知点为上一点，则P到抛物线的焦点F的距离是______.
16．已知关于的不等式有解，则整数的最小值为______．
| 三、解答题 |
17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．
18．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.
(1)若点为上一点且，证明：平面.
(2)求二面角的大小.
19．如图，已知三棱锥，平面平面，，．
（1）证明：；
（2）设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知函数与函数在处有公共的切线.
（1）求实数a，b的值；
（2）记，求的极值.
21．已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，求证：直线恒过定点．
22．已知函数.
（1）当时，求f(x)的单调区间；
（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数。
参考答案
1．A
2．C
3．C
4．C
5．A
6．A
7．A
8．B
9．C
10．B
11．D
12．C
13．
14．
15．3
16．
17．（1）；（2）或
【详解】
（1）由题意知：抛物线的焦点为
设直线的方程为，设，
由整理得：，则，
由，解得：
直线的方程为：
（2）由（1）可得的中点坐标为
则直线的垂直平分线方程为：，即
设所求圆的圆心坐标为，则
解得：或
圆的半径为或
所求圆的方程为：或
18．（1）见解析；（2）
【详解】
（1）作交于，连接
又且 且
四边形为平行四边形
平面，平面 平面
（2）平面，平面
又，
则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，，
设平面法向量
则，令，则，
设平面的法向量
则，令，则，
二面角为锐二面角 二面角的大小为
19．(1)见解析；(2)
【详解】
(1) ,,由余弦定理得
,故.
又,故.又平面平面,且平面平面,故平面.又平面,故.
证毕.
(2)由(1)有平面,故以为坐标原点,垂直为轴, 为轴正向,为轴正向建如图空间直角坐标系.
则,,,,.
故,,,
设平面的法向量则,
令有 ,故,设与平面所成角为,则
故答案为：
20．（1），．（2）极大值为；无极小值．
【详解】
（1），，
由题意得，，
解得，.
（2），
，
， 的变化情况如下表：
x | 0 | ||
+ | 0 | - | |
极大值 |
由表可知，的极大值为，无极小值.
21．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，则，
又离心率为，即，解得，∴，
∴椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在，即方程，
代入椭圆方程可得，即有，
直线的方程为，直线过点.
当直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，
由，消去整理得．
由恒成立，
设，
则①，②，
，
由，
由①②可得，
则，即
综上可得直线过定点．
22．（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）
【详解】
(1),
的定义域为．
,
,
.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为．
(2) ,,
令
,
由
当时,,在[,1]上单调递减
当时,,在[1,e]上单调递增,
,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为
所以,所以实数的取值范围为
