2020年江苏省南京市中考数学试卷
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2020年江苏省南京市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共6题） |
1. 计算的结果是．
A． B． C． D．
2. 的平方根是．
A． B． C． D．
3. 计算的结果是．
A． B． C． D．
4. 党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．
根据图中提供的信息，下列说法错误的是．
A．年末，农村贫困人口比上年末减少万人
B．年末至年末，农村贫困人口累计减少超过万人
C．年末至年末，连续年每年农村贫困人口减少万人以上
D．为在年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少万农村贫困人口的任务
5. 关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是．
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
6. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共10题） |
7. 写出一个负数，使这个数的绝对值小于________．
8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
9. 纳秒是非常小的时间单位，．北斗全球导航系统的授时精度优于．用科学记数法表示是________．
10. 计算的结果是________．
11. 已知、满足方程组，则的值为________．
12. 方程的解是________．
13. 将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是________．
14. 如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为________．
15. 如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则________．
16. 下列关于二次函数为常数）的结论：
① 该函数的图象与函数的图象形状相同；
② 该函数的图象一定经过点；
③ 当时，随的增大而减小；
④ 该函数的图象的顶点在函数的图象上．
其中所有正确结论的序号是________．
| 三、 解答题（共11题） |
17. 计算．
18. 解方程：．
19. 如图，点在上，点在上，，，求证：．
20. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解答：解不等式① ，得________．
根据函数的图象，得不等式② 的解集________．
把不等式① 和② 的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集________．
21. 为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地户居民六月份的用电量（单位：）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 | 用电量分组 | 频数 |
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这户居民六月份的用电量的中位数落在第________组内；
（2）估计该地万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．
22. 甲、乙两人分别从、、这3个景点中随机选择个景点游览．
（1）求甲选择的个景点是、的概率；
（2）甲、乙两人选择的个景点恰好相同的概率是________．
23. 如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，）
24. 如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
25. 小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为________．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26. 如图，在和中，、分别是、上一点，．
（1）当时，求证．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由．
27. 如图① ，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图② ，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．
为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明．
（2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
① 生态保护区是正方形区域，位置如图③ 所示；
② 生态保护区是圆形区域，位置如图④ 所示．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】．
故选：
【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2. 【答案】D
【解析】，
的平方根．
故选：
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
3. 【答案】B
【解析】．
故选：
【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
4. 【答案】A
【解析】．年末，农村贫困人口比上年末减少（万人），此选项错误；
．年末至年末，农村贫困人口累计减少超过（万人），此选项正确；
．年末至年末，连续年每年农村贫困人口减少万人以上，此选项正确；
．为在年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少万农村贫困人口的任务，此选项正确．
故选：
【点评】本题主要考查条形统计图，解题的关键是根据条形统计图得出解题所需的具体数据．
5. 【答案】C
【解析】关于的方程（为常数），
，
，
方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，
一个正根，一个负根．
故选：
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
6. 【答案】A
【解析】设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．
二、 填空题
7. 【答案】（答案不唯一）；
【解析】一个负数的绝对值小于，
这个负数大于且小于，
这个负数可能是、、、．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 当是正有理数时，的绝对值是它本身；② 当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③ 当是零时，的绝对值是零．
8. 【答案】；
【解析】若式子在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
9. 【答案】；
【解析】，
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10. 【答案】；
【解析】原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
11. 【答案】；
【解析】
① ② 得：，
则，
故答案为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，整式的求值的应用，求得是解此题的关键．
12. 【答案】；
【解析】方程，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13. 【答案】；
【解析】在一次函数中，令，则，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，的对应点是
设对应的函数解析式为：，
将点、代入得，解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
故答案为．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握互相垂直的两直线系数关系是解题关键．
14. 【答案】；
【解析】连接，，过点作于
是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15. 【答案】；
【解析】解法一：过作射线，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
；
解法二：
连接，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，
，，
，，
，即，
，
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16. 【答案】① ② ④ ；
【解析】① 二次函数为常数）与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论① 正确；
② 在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论② 正确；
③ ，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故结论③ 错误；
④ 抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论④ 正确，
故答案为① ② ④ ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18. 【答案】，
【解析】原方程可以变形为
，
，．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
19. 【答案】答案见解析
【解析】在与中
，
．
．
．
【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．
20. 【答案】（1）
（2），，
【解析】（1）反比例函数的图象经过点，
；
（2）解不等式组解：解不等式① ，得．
根据函数的图象，得不等式② 的解集．
把不等式① 和② 的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为，
故答案为：，，．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确的理解题意是解题的关键．
21. 【答案】（1）
（2）户
【解析】（1）有个数据，
六月份的用电量的中位数应该是第个和第个数的平均数，
该地这户居民六月份的用电量的中位数落在第组内；
故答案为：；
（2）（户），
故估计该地万户居民六月份的用电量低于的大约有户．
【点评】本题考查了中位数，用样本估计总体，频数（率）分布表，正确的理解题意是解题的关键．
22. 【答案】（1）
（2）
【解析】甲选择的个景点所有可能出现的结果如下：
（1）共有种可能出现的结果，其中选择、的有种，
；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有种可能出现的结果，其中选择景点相同的有种，
．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
23. 【答案】
【解析】如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
故轮船航行的距离约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）第时，两人相距最近，最近距离是
【解析】（1），，
当时，，，
小丽出发时，小明离地的距离为，
故答案为：；
（2）设小丽出发第时，两人相距，则
，
当时，取得最小值，此时，
故小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26. 【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．
，
，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
同理，，
，
，．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
27. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）如图② ，连接，
点，点关于对称，点在上，
，
，
同理可得，
，
；
（2）如图③ ，
在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中点是正方形的顶点）；
如图④ ，
在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中，都与圆相切）
