数学人教版13.4课题学习 最短路径问题课后测评

这是一份数学人教版13.4课题学习 最短路径问题课后测评，共14页。试卷主要包含了5）．，1，等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（ ）


A．（0，0）B．（，0）C．（﹣1，0）D．（﹣，0）


2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）





A．B．


C．D．


3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（ ）





A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）


4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ）





A．2B．4C．6D．8


5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）





A．50°B．60°C．70°D．80°


6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）





A．84°B．88°C．90°D．96°


二．填空题


7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为 时，AP+BP的值最小．


8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是 ．





9．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为 °．





10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为 ．





11．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是14，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．





12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为 ．





13．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6，若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的周长的最小值是 ．





三．解答题


14．如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．








15．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．











16．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？











17．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．





（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？


（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？














18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．


（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是 度．


（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．


①求BC的长度；


②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．




















参考答案


一．选择题


1．解：设直线AB的解析式y＝kx+b（k≠0），


将点A（﹣1，1）、B（2，﹣3）的坐标代入得：


解得：


所以直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣．


令y＝0，解得x＝﹣，


所以点P的坐标为（﹣，0），


故选：D．


2．解：要找一条最短路线，分别过OB，OC作点A的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：





故选：D．


3．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，


∵点B坐标为（1，﹣3），


∴B′（﹣1，﹣3），


∴B′C＝AC＝5，


∴∠AB′C＝45°，


∴PD＝B′D＝1，


∵OD＝|﹣3|＝3，


∴OP＝2，


∴P（0，﹣2），


故选：D．


4．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．





∵点P关于OA的对称点为C，


∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；


∵点P关于OB的对称点为D，


∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，


∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，


∴△COD是等边三角形，


∴CD＝OC＝OD＝4．


∴当M、N分别与M′、N′重合时，△PMN的周长的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．


故选：B．


5．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，


∴∠PEC＝∠PFC＝90°，


∴∠C+∠EPF＝180°，


∵∠C＝50°，


∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，


∴∠D+∠G＝50°，


由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，


∴∠GPN+∠DPM＝50°，


∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，


故选：D．





6．解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，


则AM＝PM，AN＝QN，


所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，


所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，


由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，


∵∠BAE＝136°，


∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，


∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，


∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，


故选：B．





二．填空题


7．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，


连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，


∵B（1，﹣1），


∴B′（﹣1，﹣1），


设直线AB′的解析式为y＝kx+b，


∵A（3，3），


∴，解得，


∴直线AB′的解析式为y＝x，


∴直线y＝x与y轴的交点P为（0，0）．


故答案为（0，0）．





8．解：如图所示：在x轴上得出B点关于y轴的对称点B′点，


连接B′C，交y轴于点P，此时PC+PB的值最小，


由题意可得出：B′点坐标为：（﹣3，0），C点坐标为：（1，2），


∴设B′C的直线解析式为：y＝ax+b


，


解得：，


∴B′C的直线解析式为：y＝x+，


∴x＝0时，y＝，即点P的坐标是：（0.1.5）．


故答案为：（0，1.5）．





9．解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，


∴△PAB即为所求的三角形，此时△PAB周长＝P1P2，


根据对称性知道：


∠AOP1＝∠AOP，∠BOP＝∠BOP2，


∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2＝OP，


∵△PAB周长的最小值与OP的长度相等，


∴P1P2＝OP，


∴OP1＝OP2＝P1P2，


∴△P1OP2是等边三角形，


∴∠P1OP2＝60°，


∴∠MON＝30°，


故答案为：30．





10．解：∵AB＝AC＝8，AD平分∠BAC，


∴AD⊥BC，


∴点B与点C关于直线AD对称，


过C作CE⊥AB于E，交AD于P，


则此时，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，


∵S△ABC＝AB•CE＝16，


∴CE＝＝4，


故答案为：4．





11．解：如图，连接AD．





∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，


∴AD⊥BC，


∴S△ABC＝•BC•AD＝×5×AD＝14，


∴AD＝，


∵EF是线段AB的垂直平分线，


∴点B关于直线EF的对称点为点A，


∴AD的长为BM+MD的最小值，


∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝+＝8.1，


故答案为8.1．


12．解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．





在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，


∴AH＝AC＝12，


∵BD平分∠ABC，


∴∠FBE＝∠FBE′，


∵BE＝BE′，BF＝BF，


∴△FBE≌△FBE′（SAS），


∴FE＝FE′，


∴AF+FE＝AF+FE′，


根据垂线段最短可知，当A，F，E共线且与AH重合时，AF+FE的值最小，最小值＝12，


故答案为12．


13．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．


∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，


∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；


∵点P关于OB的对称点为D，


∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，


∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，


∴△COD是等边三角形，


∴CD＝OC＝OD＝6．


∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝6．


故答案为：6．





三．解答题


14．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，


则此时四边形PABQ的周长最小．





15．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：


AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．


而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．


16．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．





∵∠DAB＝100°，


∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，


∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，


∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°，


∠MAN＝180°﹣160°＝20°．


故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．


17．解：（1）奶吧D的位置如图1所示；





（2）奶吧D的位置如图2所示．


18．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C


∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，


∴∠A＝50°，


MN是AB的垂直平分线，


∴AM＝BM，


∴∠A＝∠ABM＝50°，


∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，


∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，


∴∠NMA＝∠AMB＝40°．


故答案为40度．


（2）①∵AB＝AC＝10，


△MBC的周长是18cm，


即BM+MC+BC＝18


∵AM＝BM，


∴AM+MC+BC＝18，


∴AC+BC＝18，


∴BC＝8．


答：BC的长度为8cm．


②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，


答：△PBC的周长的最小值为18cm．