初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时作业

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时作业，共21页。试卷主要包含了4课题学习 最短路径问题，5D．5等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（ ）
A．-4B．2C．4D．-2
2．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A．B．4C．D．5
4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4B．3C．4.5D．5
5．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
9．如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则( )
A．20°B．25°C．30°D．35°
12．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.
A．B．
C．D．
二、填空题
13．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
14．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是__________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
16．已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E=，OP=，则EF的长度是_____．
17．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根号）．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
三、解答题
19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
(1)如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．
(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请完成下列各题（用直尺画图）
（1）画出关于轴对称的，并直接写出各顶点坐标．
（2）在轴上画出点，使的周长最小．
21．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
22．如图，在等边中，是直线上一点，是边上一动点，以为边作等边，连接．（提示：含的直角三角形三边之比为）
如图1，若点在边上，求证：；
如图2，若点在的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
图2中，若，点从运动到停止，求出此过程中点运动的路径长．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.
参考答案
1．C
解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短
∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4
2．B
解：如图：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
3．C
解：如图，它运动的最短路程AB= ＝
4．A
解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
5．C
解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
6．A
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
7．D
解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
8．D
解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
9．D
解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，
根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．
10．C
过点作于点，交于点，过点作，如图所示
∵平分，、分别是和上的动点
∴，与关于对称
∴此时，
∵，
∴
∴的最小值是
11．C
作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，
由轴对称得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，
∴△BGH是等边三角形，
∴∠GBH=60°，
∴∠ABC=∠GBH=30°，
12．C
根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
13．
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
14．10
∵垂直平分，
∴点与点关于对称，
如图，设与相交于点,
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
∵，，
∴的周长的最小值是，
故答案为：10．
15．
解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为，
16．
∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，
∴OP=OP1=OP2=，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=90°，
∴△P1OP2是等腰直角三角形，
∴P1P2==2，
设EF=x，
∵P1E==PE，
∴PF=P2F=-x，
由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2，即（）2+（-x）2=x2，
解得x=．
17．
将圆柱体的侧面沿剪开并铺平，得长方形，取的中点C，连接，根据两点之间线段最短可得线段就是小虫爬行的最短路线，如图：
根据题意得．
在中，由勾股定理得，
∴．
18．
解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，
令y=0，得到x=2.
∴Q（2.0）
故答案为（2，0）.
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求；
（2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求．
解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P点
．
（2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短．
20．（1）作图见解析；；；；（2）作图见解析．
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，然后再连接即可；
（2）连接C1B，与y轴的交点就是Q点位置．
解：（1）如图所示：A1（3，2），B1（4，-3），C1（1，-1）；
（2）如图所示：Q即为所求．
21．见解析
【分析】
利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．
解：如图所示：C、D点即为所求．
22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）在上截取，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；
（2）过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出；
（3）当点与重合时，的值最小，最小值，当时，的值最大，最大值，当点与重合时，的值最小，最小值，点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，由此可得结论．
解：（1）证明：在上截取，如图1所示：
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）线段，与之间的等量关系是．理由如下：
是等边三角形，
，
过作，交的延长线于点，如图2所示：
，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）由（2），
则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，
∴CF与BC的夹角不变，即点F的运动路径为线段，
当点与重合时，的值最小，最小值，
当时，∵EF=DF，
∴CF垂直平分ED，
∴∠CFE=30°，
∴∠CEF=90°，
∵EF=ED=AC=，
∴CF==4，
∴的最大值为4，
当点与重合时，的值最小，最小值，
点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，
此过程中点运动的路径长．
23．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】
(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,
即可得解.
解：（1）由已知条件得：
AC=12，OB=6
∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，
∵，OA=6，
∴OM+ON=3