2020高考数学一轮复习检测：第3章 第6节　解三角形的综合应用(含解析)

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A级　基础夯实练
1.(2018·临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)
A．①②　　　　　　　 B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选D.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
2．(2018·广西五校联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A.画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
3．(2018·昆明检测)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，在Rt△BCD中，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
4．(2018·太原二模)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)．AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)
A．7 km B．8 km
C．9 km D．6 km
解析：选A.在△ACD中，由余弦定理得：
cos D＝＝.
在△ABC中，由余弦定理得：
cos B＝＝.
因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，
即＋＝0，解得AC＝7.
5．(2018·烟台模拟)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)

A．5(＋)km B．5(－)km
C．10(－)km D．10(＋)km
解析：选C.由题意知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠CBA＝30°＋45°＝75°，所以∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，故AC＝AB，因为AB＝40×＝20，所以AC＝AB＝20.在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝400＋400－2×20×20cos 30°＝400(2－)，故BC＝＝＝10(－)．

6．(2018·九江模拟)如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析：在△ABD中，设BD＝x，则
BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理：＝，所以BC＝·sin 30°＝8.
答案：8

7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，
∴∠ACB＝45°.
又∵AB＝600 m，
∴由正弦定理＝，得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝300 m，
tan∠DBC＝＝，∴DC＝100 m.
答案：100
8．(2018·湖南长沙一中模拟)沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30)n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________．


解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，为正北方向，为正南方向，则AF＝50 n mile，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE＝80sin 60°＝40(n mile)，BE＝ABcos60°＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30n mile，AC＝＝50n mile，
cos∠ACE＝，sin ∠ACE＝，所以cos ∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝＝，所以∠CAD＝90°.
又AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，所以∠AFC＝60°，
所以θ＝∠CFN＝∠AFN－∠AFC＝∠MAF－∠AFC＝15°，故sin θ＝.
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin(A＋C)．
(1)求角B；
(2)若b＝6，sin C＝，求△ABC的面积S.
解：(1)因为A＋C＝π－B，
所以由已知得a(sin A＋sin C)＋csin C＝b sin(π－B)，
即a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin B．
根据正弦定理可得a(a＋c)＋c2＝b2，
即a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得cos B＝＝－，
因为0