数学八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试精品同步测试题

这是一份数学八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试精品同步测试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1. 等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数是( )


A. 65°，65° B. 50°，80° C. 65° ，65°或50°，80° D. 500，50°





2. 已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为( )


A. 7 B. 8 C. 6或8 D. 7或8





3. 如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是 ( )





A. 70° B. 55° C. 50° D. 40°





4. 如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为( )





A. 30° B. 36° C. 40° D. 45°





5. 如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为( )





A. 7 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 22 cm





6. 下面给出几种三角形：①有两个角为60°的三角形：②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形，其中等边三角形的个数是( )


A. 4 B. 3 C. 2 D. 1





7. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为( )


A. 50° B. 60° C. 130° D. 50°或130°





8. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是( )


A. 1 cm＜AB＜4 cm B. 5 cm＜AB＜10 cm


C. 4 cm＜AB＜8 cm D. 4 cm＜AB＜10 cm





9. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为 ( )





A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°





10. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，则△AEF是 ( )





A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定





二、填空题


11. 等腰三角形的两边长分别为5 cm和11 cm，则周长为____cm.





12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=____.








13. 如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为_________.








14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB的长度是______cm.








15. 如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为_______.








16. 如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为______度.








17. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形：△ACE和△BCF，连接BE，AF，则∠θ的度数是____.








18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为______.





三、证明题


19. 如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC.











20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.











21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上.求证：NB=NC.











22.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.


求证:AD=BC.











23. 如图，已知△ABC是等边三角形，BD是高，延长BC到E，使CE=CD，过D作DF⊥BE于F,求证：





(1)BD=DE；


(2)F为线段BE的中点.








24. 已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点.求证：BD=AE.











25. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.





(1)求∠ECD的度数；


(2)若CE=5，求BC的长.








26. 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F.





(1)求证：AD= CE；


(2)求∠DFC的度数.








27.已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.





图1 图2


(1)如图1,求证:AE=BD;


(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.























参考答案


1. 【答案】C【解析】当50°是底角时，顶角为180°-50°×2=80°；当50°是顶角时，底角为(180°-50°)÷2=65°.故选C.





2. 【答案】D【解析】当2为底边长时，三角形的三边长分别为3，2，3，可以构成三角形，周长为8；当3为底边长时，三角形的三边长分别为3，2，2，可以构成三角形，周长为7.故选D.





3. 【答案】D【解析】∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，又∵∠A+∠C+∠B=180°, ∠B=70°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°,故选D.





4. 【答案】B【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA.


∵CD= AD，∴∠C=∠CAD.∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B，


∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°.故选B.





5. 【答案】C【解析】∵折叠后，点B与点A重合.∴AD=BD.∵△ADC的周长为17 cm，AC=5 cm，


∴AD+DC=17-5=12(cm)，∵AD=BD，∴BD+DC=AD+DC=12 cm.故选C.





6. 【答案】B【解析】利用等边三角形的判定定理可知符合①②④中条件的三角形都为等边三角形，符合③中条件的三角形不一定为等边三角形.故选B.





7. 【答案】D【解析】①△ABC是锐角三角形时，如图1，∵∠AED=40°，∴顶角∠A=90°-40°=50°；②△ABC是钝角三角形时，如图2，∵∠AED=40°，∴顶角∠BAC=90°+40°=130°.


综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°，故选D.








8. 【答案】B【解析】∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=(20-2x)cm，∴{2x>20-2x,20-2x>0,解得5＜x＜10.故选B.





9. 【答案】B【解析】因为AB=AD,所以∠B=∠ADB=80°，所以∠ADC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，


因为DC=AD，所以∠C=∠CAD，因为∠C+∠DAC=80°，所以∠C=40°，故选B.





10. 【答案】B【解析】∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFE=90°.


∵AD⊥BC，∴∠EDC=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，


∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠ECD，


∴∠AFE=∠CED，


∴∠AFE=∠AEF，


∴△AEF为等腰三角形.





11. 【答案】27


【解析】根据题意得：11cm为腰或11cm为底边两种可能，


当11cm为腰时，则三边为11cm，11cm，5cm，周长为27cm；


当11cm为底边时，则三边为5cm，5cm，11cm，因为5+5<11，所以不能组成三角形，故周长为27 cm.





12. 【答案】3


【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD(三线合一),∵BC=6，BD=CD=12BC=12×6=3.





13. 【答案】36°


【解析】设∠B=x，∵AB=AC，∴∠B=∠C=x，∵AD=CD，∴∠C=∠DAC=x，∴∠ADB=2x，


∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2x，


在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°,即∠B=36°.





14. 【答案】15


【解析】由DE平分∠ADC可知∠ADE=∠EDC.由AB∥DC得∠AED=∠EDC，故


∠ADE=∠AED，从而AD=AE.同理，BE=BC.所以AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15(cm).





15. 【答案】40°


【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB=60°,∠1=20°，∴∠1=∠MCB=20°，


∴∠2=∠ACM=∠ACB−∠MCB=60°−20°=40°.








16. 【答案】45


【解析】因为BD=BC，所以∠BCD=∠BDC，因为AE=AC，所以∠ACE=∠AEC.设


∠BCD=∠BDC=α，∠ACE=∠AEC=β，∠DCE=γ，根据△CDE内角和为








180°及∠ACB=90°，可列出方程组：{α+β+γ=180°, ①α+β-γ=90°, ②由①-②得2γ=90°，所以γ=45°，即∠DCE=45°.





17. 【答案】120°


【解析】由△ACE和△BCF是等边三角形，所以CF=BC，CA=CE，∠BCF=∠ACE=60°，所以∠BCF+∠BCA=∠ACE+∠BCA，即∠ACF=∠BCE，∴△ACF≌△ECB(SAS)，∴∠AFC=∠EBC.


∴∠θ=∠FBE+∠BFA=∠FBC+∠EBC+∠BFA=∠FBC+∠AFC+∠BFA=60°+60°=120°.





18. 【答案】63°或27°


【解析】在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D.


①若三角形是锐角三角形，则∠A=90°-36°=54°，此时，底角=(180°-54°)÷2=63°；





②若三角形是钝角三角形，则∠BAC=36°+90°=126°，此时，底角=(180°-126°)÷2=27°.


综上，该等腰三角形底角的度数是63°或27°.








19. 【答案】证明:∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，


∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2.


∴∠B=∠C，


∴AB=AC(等角对等边).





20. 【答案】 如图，延长AO交BC于D.


在△ABO和△ACO中，∵{AB=AC,OB=OC,AO=AO,∴ΔABO≌ΔACO，∴∠BAO=∠CAO，


即∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，即AO⊥BC.








21. 【答案】∵AB=AC，AM是BC边上的中线，


∴AM⊥BC,即∠AMB=∠AMC=90°，


在△BMN与△CMN中，{MN=MN，∠AMB=∠AMC，BM=CM，


∴△BMN≌△CMN(SAS)，


∴NB=NC.





22. 【答案】∵AB=AC,∠A=36°,


∴∠ABC=∠C=72°.


∵BD平分∠ABC,


∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,


∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,


∴AD=BD=BC.





23.


(1) 【答案】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.


又∵BD是△ABC的高，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°.


∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.又∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD=DE.


(2) 【答案】∵BD=DE，DF⊥BE，∴F为线段BE的中点.





24. 【答案】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，


∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，


∴∠ACE=∠BCD.


在△ACE和△BCD中，∵{AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,


∴ΔACE≌ΔBCD(SAS)，∴BD＝AE.





25.


(1) 【答案】∵DE垂直平分AC，∴ CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°.


(2) 【答案】∵AB=AC，∠A=36° ，∴∠B=∠ACB=72°，


∵∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.





26.


(1) 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC.


又∵AE=BD，∴ΔAEC≌ΔBDA(SAS).∴AD= CE.


(2) 【答案】∵ΔAEC≌ΔBDA，∴∠ACE=∠BAD，


∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.





27.


(1) 【答案】∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,


∴AC=BC,DC=EC,


∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,


∴∠BCD=∠ACE,


∴△ACE≌△BCD,


∴AE=BD.


(2) 【答案】△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,


△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.