2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第十二讲第一课时　导数与函数的单调性


第十二讲　导数在研究函数中的应用
第一课时　导数与函数的单调性

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点　函数的单调性
(1)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)>0，则f(x)为增函数，若f′(x)0(或f′(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)0(或f′(x)0
B．若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数
C．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性
D．因为y＝的导函数为y′＝，∵x>0，∴y′f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
[解析]　f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D．
4．(选修2－2P31AT3改编)已知函数y＝f(x)在定义域(－3,6)内可导，其图象如图，其导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为[－1,2]∪[4,6).　

[解析]　f′(x)≤0，即y＝f(x)递减，故f′(x)≤0，解集为[－1,2]∪[4,6)．
题组三　考题再现
5．(2017·浙江，4分)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　D　)



[解析]　根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D．
6．(2016·全国卷Ⅰ，5分)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　C　)
A．[－1,1] B．[－1，]
C．[－，] D．[－1，－]
[解析]　函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，所以解得－≤a≤.故选C．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点　函数的单调性
考向1　不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)(2020·山西太原期中)函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　B　)
A．(－3,1) B．(0,1)
C．(－1,3) D．(0,3)
(2)已知e为自然对数的底数，则函数y＝ex＋x2－x的单调递增区间是(　A　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
(3)(多选题)(2020·济南调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是(　AC　)
A．(－π，－) B．(－，0)
C．(0，) D．(，π)
[解析]　(1)函数的定义域是(0，＋∞)，y′＝1－＋＝，令y′
[解析]　(1)记F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，
当x0，即F(x)在(－∞，0)上单调递增，又g(－3)＝0，∴F(－3)＝0，
画出y＝F(x)图象示意图，

由图可知f(x)g(x)0.
∴g(x)在R上为增函数．又∵a>0，
∴g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)．