2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第63讲　机械振动




[研读考纲明方向]

考纲要求
复习指南
主题
内容
要求
考情分析：
1．选修3—4在高考中属选考内容，共两个小题，第一个小题为选择题或填空题，第二个小题为计算题。近几年的高考考查内容以机械振动、机械波和光学为主；电磁振荡、电磁波和相对论几乎没有单独命题。
2．机械振动和机械波的考查常以振动图象或波动图象展开，两者常结合在一起考查，波的形成和传播规律结合波速公式是考查的重点，有时涉及多解问题，题型可能为选择题或填空题，也可能为计算题。
3．光学的考查以几何光学为主，折射率、全反射是考查重点，近几年也涉及过物理光学，比如光的干涉、光的衍射等。
命题趋势：
1．机械振动、机械波、几何光学仍然是命题的重点，单摆的周期公式也有可能考查。
2．物理光学因在高科技中的应用较多，在高考命题逐渐注重核心素养的趋势下，该部分内容考查的可能性也较大。
机械振动
与机械波
简谐运动
Ⅰ
简谐运动的公式和图象
Ⅱ
单摆、单摆的周期公式
Ⅰ
受迫振动和共振
Ⅰ
机械波、横波和纵波
Ⅰ
横波的图象
Ⅱ
波速、波长和频率(周期)的关系
Ⅰ
波的干涉和衍射现象
Ⅰ
多普勒效应
Ⅰ
实验一：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度

电磁振荡
与电磁波
电磁波的产生
Ⅰ
电磁波的发射、传播和接收
Ⅰ
电磁波谱
Ⅰ
光与相
对论
光的折射定律
Ⅱ
折射率
Ⅰ
全反射、光导纤维
Ⅰ
光的干涉、衍射和偏振现象
Ⅰ
狭义相对论的基本假设
Ⅰ
质能关系
Ⅰ
实验二：测定玻璃的折射率

实验三：用双缝干涉测量光的波长


[重读教材定方法]

(对应人教版选修3－4的页码及相关问题)
1.P13图11.3－6，试写出物体的振动方程。
提示：x＝Asin(ωt＋φ)，由图知A＝4 cm，T＝0.8 s，ω＝＝π rad/s；t＝0.1 s时，x0＝Asinπ＋φ＝－A，解得φ＝π(0≤φ<2π)，所以x＝4sinπt＋π cm。
2．P17阅读“用单摆测定重力加速度”一段，请思考：如果只测出多组摆线长l和对应的周期T，如何求重力加速度g?
提示：设小球半径为r，则摆长L＝l＋r，由T＝2π，得l＝T2－r，由l－T2图象的斜率即可求出g。
3．P30图12.3－2，请思考：哪些因素可能造成波动问题的多解性？
提示：传播方向(振动方向)不确定引起的多解；波的周期性引起的多解。
4．P36图12.4－7，图中M点此刻振动状态如何？后呢？N点一定静止吗？
提示：此刻M点波峰与波峰相遇，为振动加强点，后到达平衡位置，仍是振动加强点；N点是波峰与波谷相遇，为振动减弱点，只有两列波的振幅相等时，N点才静止。
5．P51图13.2－7，图中内芯和外套哪个折射率大？
提示：光从内芯射向外套发生全反射，故内芯的折射率大。
6．P54图13.3－2，若通过S1和S2的是不同颜色的光，屏上也会出现干涉条纹吗？
提示：不会，因频率不同的波相遇不能产生干涉现象。
7．P58图13.4－3，P60图13.5－2，对比两图，试总结出干涉和衍射图样的不同与相似之处。
提示：不同之处：干涉条纹是等间距等宽度的，衍射条纹的中央亮纹最宽，越向两侧条纹越窄，间距越小。
相似之处：两缝距离或缝越窄，光的波长越长，干涉和衍射的条纹越宽，间距越大。
8．P71图13.7－11，甲、乙两图都能发生全反射吗？增大入射角，如果发生全反射，是红光还是紫光先发生？
提示：光从玻璃射向空气才可能发生全反射，所以只有乙图能发生全反射。由于紫光的折射率大，由sinC＝知紫光的全反射临界角小，所以紫光先发生全反射。
9．P75～76，阅读“伟大的预言”部分，你如何理解麦克斯韦的电磁场理论？
提示：麦克斯韦提出：(1)变化的磁场产生电场，(2)变化的电场产生磁场。这说明稳定的电(磁)场不产生磁(电)场；均匀变化的电(磁)场产生稳定的磁(电)场；非均匀变化的电(磁)场产生变化的磁(电)场；周期性变化的电(磁)场产生同周期变化的磁(电)场，电磁场交替产生，空间存在电磁波。
第63讲　机械振动

基础命题点一　简谐运动


1．简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x­t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。表达式为：x＝Asin(ωt＋φ)。
2．简谐运动的决定因素：回复力和位移的关系为：F＝－kx。
3．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
4．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
5．描述简谐运动的物理量
(1)位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量。
(2)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱。
(3)周期T：物体完成一次全振动所需要的时间。
频率f：单位时间内完成全振动的次数。
它们都是表示振动快慢的物理量，二者的关系为：
T＝。
(4)相位ωt＋φ：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态，其中φ为初相。
6．弹簧振子(如图，以水平弹簧振子为例)

(1)简谐运动的条件：
①弹簧质量可忽略；
②无摩擦等阻力；
③在弹簧弹性限度内。
(2)回复力：弹簧弹力。
(3)平衡位置：弹簧处于原长处。
(4)周期：与振幅无关，与振子质量和弹簧劲度系数有关。
(5)能量转化：弹性势能与动能相互转化，机械能守恒。
7．简谐运动的特征
受力
特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动
特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量
特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性
特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性
特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等

1．(多选)下列关于振动的回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力方向总是指向平衡位置
B．回复力是按效果命名的
C．回复力一定是物体受到的合力
D．回复力由弹簧的弹力提供
E．振动物体在平衡位置所受的回复力是零
答案　ABE
解析　回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、B正确，C错误；在水平弹簧振子中回复力由弹簧的弹力提供，但在其他振动中，不一定由弹簧弹力提供，D错误；振动物体在平衡位置受到的回复力是零，E正确。
2．(2019·浙江高三期末)如图是光滑水平面上的一个弹簧振子。把振子由平衡位置O拉到右方位置B，再放开，它就沿着水平面在B、C之间不停地振动，振动周期是0.4 s，若在振子由C向B运动经O点时开始计时，则t＝0.15 s时(　　)

A．振子正从C向O运动 B．振子正从O向B运动
C．振子正从O向C运动 D．振子正从B向O运动
答案　D
解析　振子的周期是0.4 s，则四分之一周期是0.1 s，0.15 s＝T，T＜T＜T，在振子由C向B运动
经O点时开始计时，则→时间内正在从B向O运动，故A、B、C错误，D正确。
3．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是(　　)
A．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为一个振幅
B．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅
C．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移一定相同
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的速度一定相同
答案　B
解析　若Δt＝，则Δt时间内振子经过的路程不一定等于振幅，与振子的初始位置有关，故A错误；若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅，故B正确；若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，振子的位移大小相等，方向相反，故C错误；若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，所以这两个时刻速度的大小一定相等，方向相反，故D错误。
4．(2019·江苏高考模拟)竖直悬挂的弹簧振子下端装有记录笔，在竖直面内放置记录纸。当振子上下振动时，以水平向左的速度v＝1 m/s匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下记录的痕迹，建立坐标系，测得的数据如图所示，则振子振动的振幅为________，频率为________。

答案　5 cm　1 Hz
解析　设周期为T，振幅为A，由题图得：A＝5 cm；由于振动的周期就是记录纸从O至x＝1 m运动的时间，所以周期为：T＝＝ s＝1 s，则频率为：f＝＝1 Hz。

能力命题点一　简谐运动的图象


1．对简谐运动图象的认识
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

(2)纵轴x代表质点偏离平衡位置的位移，横轴t代表时间。做简谐运动的质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律为正弦或余弦规律。
(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻质点的速度大小。正负表示速度的方向，为正时沿x正方向，为负时沿x负方向。
2．图象信息
(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。
(4)可以根据图象得出某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。

一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。

(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能大小如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
解析　(1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，
则质点的振动方程为
x＝Asinωt－＝－Acosωt＝－2cost cm＝－2cos(100πt) cm。
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm。
(2)由题图可知，在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，Δt＝T＝T＝4＋T，可知质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm。
答案　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大　(3)34 cm　2 cm

简谐运动图象问题的两种分析方法
方法一：图象—运动结合法
解此类题时，首先要理解x­t图象的意义，其次要把x­t图象与质点的实际振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是要判断出平衡位置、最大位移及振动方向。
方法二：直观结论法
简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图象，不是质点的运动轨迹。直接由图象得出相关物理量，再由简谐运动的有关结论、规律求解。

1．(2019·北京高考模拟)如图1所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是(　　)

A．振子的振幅为4 cm
B．振子的振动周期为1 s
C．t＝1 s时，振子的速度为负的最大值
D．t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值
答案　C
解析　由振动图象可知，该弹簧振子的振幅为2 cm，周期为2 s，t＝1 s时，振子在平衡位置，加速度为零，速度为负的最大值，故C正确，A、B、D错误。
2．(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，质点的速度为零，加速度最大
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
答案　BCD
解析　由图读出质点做简谐运动的周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4A，t＝10 s＝2.5T，则在10 s内质点经过的路程s＝2.5×4A＝10×2 cm＝20 cm，故B正确；在5 s末，质点位于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，故C正确；t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是x＝Asin45°＝2× cm＝ cm，D正确。
3．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知(　　)

A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
答案　CD
解析　从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确。

能力命题点二　单摆


1．单摆的特征(以图示单摆为例)

(1)条件：θ≤5°，空气阻力可忽略不计，摆线为不可伸长的轻细线。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(3)平衡位置：最低点。
(4)周期：T＝2π ，其中l为摆长。
(5)能量转化：重力势能与动能相互转化，机械能守恒。
(6)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。
2．周期公式T＝2π 的两点说明

(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l＝r＋Lcosα，乙图中小球(可看做质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l＝R。
(2)g为当地重力加速度。若单摆处于特殊的物理环境，即在其他星球、处于超失重状态等，g为等效重力加速度。

(2019·安徽模拟)(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是(　　)

A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆的大
C．甲摆的机械能比乙摆的大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
E．由图象可以求出当地的重力加速度
解析　由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2π 可知，甲、乙两单摆的摆长相等，A正确；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆的大，B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长也相等，但由于两摆的质量未知，故无法比较机械能的大小，C错误；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负向最大，则乙摆具有正向最大加速度，D正确；由单摆的周期公式T＝2π 得g＝，由于不知道单摆的摆长，所以不能求出当地的重力加速度，E错误。
答案　ABD

(1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。
(2)单摆的周期只由摆长和重力加速度决定。
(3)单摆的振幅可用角度或长度表示。振幅若用长度表示，指的是摆球偏离平衡位置的最大弧长(近似等于摆球偏离平衡位置的水平位移最大值)。
(4)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epmax＝mgl(1－cosθmax)＝mgl1－cos。

1．(2019·张家界市第一中学高三月考)如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R远大于AB的弧长。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，则两球第1次到达C点的时间之比为________；在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，若在乙球第2次通过C点时，甲、乙两球相遇，则甲球下落的高度是________。(不计空气阻力，不考虑甲球的反弹)

答案　2∶π　π2R
解析　甲球做自由落体运动，R＝gt，所以甲球到达C点的时间t甲＝ ；乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θ＜5°)，此振动与摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C点的时间为：t乙＝T＝×2π
所以t甲∶t乙＝2∶π；
在乙球第2次通过C点时经过的时间为：
t＝T＝×2π ＝
则：h＝gt2＝g× 2＝π2R。
2．如图甲是一个单摆振动的情形，O点是它的平衡位置，B、C点是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答：

(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)
答案　(1)1.25 Hz　(2)B点　(3)0.16 m
解析　(1)由题图乙知该单摆振动的周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点。
(3)由T＝2π ，得l＝≈0.16 m。

基础命题点二　实验：用单摆测定重力加速度


1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带中心孔的小钢球、约1 m长的细线(不可伸长)、带有铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
3．实验步骤与数据处理
(1)做单摆
取约1 m长的细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，在平衡位置做上标记，如图所示。

(2)测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝L＋。
(3)测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(不大于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30或50次全振动的总时间，算出单摆做一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
(4)改变摆长，重做几次实验。
(5)数据处理
①公式法：g＝。其中l和T为多次测量的平均值。
②图象法：画l－T2图象。

由T＝2π ，得l＝T2，摆长l和周期T的二次方成正比，图象为一条过原点的直线，斜率k＝，则由图象得到斜率k即可求得重力加速度g＝4π2k。
4．注意事项
(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°。
(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
(3)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(4)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
(5)秒表读数：先读内圈，读数时只读整数(分钟)，且根据是否过半分钟格线由外圈读出秒数，读外圈时，指针是准确的，不用估读。
5．实验误差
(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等。
(2)偶然误差的主要来源：未从平衡位置开始计时，多计或漏计全振动的次数，刻度尺测摆线长读数误差等。

1．(2019·安徽高考模拟)(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，下列说法正确的有(　　)
A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的且尽可能长一些的
B．摆球尽量选择质量大些且体积小些的
C．用悬线的长度作为摆长，测得的重力加速度值偏小
D．拉开摆球释放(摆角小于5°)后，从平衡位置开始计时，记下摆球通过平衡位置50次的时间Δx，则单摆周期T＝
E．画出的周期的二次方与摆长(T2­L)图象是一条过原点的倾斜直线，直线斜率等于重力加速度
答案　ABC
解析　为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，故A正确；为减小阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些且体积小些的，故B正确；根据T＝2π 得：g＝，用悬线的长度作为摆长时，摆长偏小，故g的测量值偏小，C正确；拉开摆球释放(摆角小于5°)后，从平衡位置开始计时，记下摆球通过平衡位置50次的时间Δt，则单摆周期为T＝，故D错误；根据T＝2π 得：T2＝·L可知，画出的周期的二次方与摆长的图象(T2­L)的斜率k＝，故E错误。
2．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
(1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有________。
A．长度约为1 m的细线
B．长度约为30 cm的细线
C．直径约为2 cm的钢球
D．直径约为2 cm的木球
E．最小刻度为1 cm的直尺
F．最小刻度为1 mm的直尺
(2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________ s。

(3)该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示，则当地重力加速度的表达式g＝________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样________(选填“影响”或“不影响”)重力加速度的计算。
答案　(1)ACF　(2)95.1　(3)　不影响
解析　(1)由单摆周期公式T＝2π可得，g＝L，实验需要测量摆长，摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，测量摆线长需要毫米刻度尺；摆线的长度较大些可减小测量误差，所以用长度约1 m的细线；为减小空气阻力的影响，摆球需要密度较大的摆球，故选用的器材为ACF。
(2)秒表表示读数：内圈读数：60 s，外圈读数35.1 s，总读数为t＝60 s＋35.1 s＝95.1 s。
(3)由T＝2π 可得，L＝T2，
则L－T2图象的斜率等于，由数学知识得＝＝，解得g＝。
根据数学知识，在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样不影响重力加速度的计算。
3．(2019·北京高三期末)伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。
(1)在上述设想中，要达到测出细绳长度的目的，需要测量的物理量是________(填序号字母)。
A．金属球的质量m
B．细绳摆动的角度θ
C．金属球全振动的次数n和对应的时间t
(2)利用(1)中测量量表示细绳长度的表达式为L＝________。(当地的重力加速度为g)
答案　(1)C　(2)
解析　(1)(2)由单摆周期公式得：T＝2π，可得：L＝＝，本实验要测量摆长即悬点到摆球球心的距离L，需要测量金属球全振动的次数n和对应的时间t，不需要测量小球的质量和细绳摆动的角度θ，故选C。

基础命题点三　受迫振动　共振


1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
3．共振
做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。


1．(2019·浙江高考模拟)为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2赫兹的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是(　　)

A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
D．汽车的速度越大，颠簸得越厉害
答案　C
解析　当汽车以5 m/s的速度行驶时，驱动力的周期为T＝＝ s＝0.3 s，频率f＝＝ Hz，故A错误；当汽车以3 m/s的速度行驶时，汽车的频率为f＝＝ Hz＝2 Hz，此时和固有频率相同，所以振动得最厉害，故C正确，B错误；当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振，振动的振幅最大，汽车颠簸得越厉害，故D错误。
2．[教材母题]　(人教版选修3－4 P21·T4)如图是一个单摆的共振曲线。

(1)试估计此单摆的摆长。
(2)若摆长增大，共振曲线振幅最大值的横坐标将怎样变化？
[变式子题]　(多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)

A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
E．此单摆的振幅是8 cm
答案　ABD
解析　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为T＝＝2 s；由T＝2π 得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，A、B、D正确，C错误。此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅为8 cm，E错误。
3．(2019·湖北高三月考)(多选)如图甲所示为一弹簧振子自由振动(即做简谐运动)时的位移随时间变化的图象，图乙为该弹簧振子在某外力的作用下做受迫振动时的位移随时间变化的图象，则下列说法中正确的是(　　)

A．由图甲可知该弹簧振子的固有周期为4 s
B．由图乙可知该弹簧振子的固有周期为8 s
C．由图乙可知外力的周期为8 s
D．如果改变外力的周期，在接近4 s的附近该弹簧振子的振幅较大
E．如果改变外力的周期，在接近8 s的附近该弹簧振子的振幅较大
答案　ACD
解析　图甲是振子做自由振动时的图象，其周期为该弹簧振子的固有周期，故由图甲可知，其固有周期为T0＝4 s；图乙是振子做受迫振动的图象，其周期为振子实际振动的周期，也为驱动力的周期，即驱动力的周期为8 s，故A、C正确，B错误。当驱动力的频率等于振子的固有频率时，振子的振动达到最强，故当T在4 s附近时，该弹簧振子的振幅较大，故D正确，E错误。

课时作业


1．(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，下列说法中正确的是(　　)

A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C．在t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
答案　BC
解析　t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向正的最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误。
2．摆长为L的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取t＝0)，当振动至t＝ 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的(　　)

答案　C
解析　单摆的周期为T＝2π，当t＝ ＝时摆球具有负向最大速度，知摆球经过平衡位置向负方向振动，C正确，A、B、D错误。
3．(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则该弹簧振子的周期为(　　)
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．3 s
答案　AC
解析　分情况讨论：①如图甲所示，O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s，C正确。

②如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B再回到点M′所用的时间与振子从点M经过点C再回到点M所需时间相等，即0.2 s，振子从点O到点M′和从点M′到点O以及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝ s＝ s≈0.53 s，A正确。
4．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2­l图象，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)。另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象(如图乙所示)，由图可知，两单摆摆长之比＝________。在t＝1 s时，b球振动的方向是____________。

答案　B　　沿y轴负方向
解析　由单摆的周期公式T＝2π得：T2＝l，即图象的斜率k＝，重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是B；从题图乙可以得出Tb＝1.5Ta，由T＝2π 知，两单摆摆长之比＝；从题图乙可以看出，t＝1 s时b球正在向负的最大位移处运动，所以b球的振动方向沿y轴负方向。
5．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中测量了一些数据，其中的一组数据如下所示。

(1)用游标卡尺测量摆球直径，卡尺游标位置如图甲所示，可知摆球直径是________ cm。
(2)该同学用秒表记录了单摆振动30次全振动所用的时间如图乙所示，则单摆的周期是________ s。(保留三位有效数字)
(3)为了提高实验精度，在试验中可改变几次摆长l，测出相应的周期T，从而得出几组对应的l与T的数值，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图丙所示，利用图线可求出图线的斜率k＝________，再由k可求出g＝________(保留三位有效数字)。

(4)如果他测得的g值偏小，可能的原因是(　　)
A．将摆线长作为摆长
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时，秒表过迟按下
D．实验中误将29次全振动数记为30次
答案　(1)1.940　(2)1.90　(3)4　9.86 m/s2　(4)AB
解析　(1)由图示游标卡尺可知，其示数为：19 mm＋8×0.05 mm＝19.40 mm＝1.940 cm。
(2)由图示秒表可知，其示数为：56.9 s，
单摆的周期：T＝＝ s≈1.90 s。
(3)由单摆周期公式：T＝2π，可得T2＝l，由图示图象可知k＝＝＝4，又由k＝，可求得重力加速度g＝＝ m/s2≈9.86 m/s2。
(4)由单摆周期公式：T＝2π，可得g＝l，将摆线长作为摆长，则摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故A正确；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故B正确；开始计时，秒表过迟按下，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故C错误；实验中误将29次全振动数记为30次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故D错误。

6．(2019·上海高考)一个做简谐振动的弹簧振子，t＝0时位于平衡位置，其机械能随时间变化的图象应为(　　)

答案　D
解析　做简谐振动的弹簧振子，只有弹簧弹力做功，系统的动能和弹性势能相互转化，总的机械能不变，A、B、C错误，D正确。
7．(2019·江苏高考)(多选)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(　　)
A．位移增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
答案　AC
解析　在单摆的偏角增大的过程中，摆球远离平衡位置，故位移增大，速度减小，回复力增大，机械能保持不变，A、C正确，B、D错误。
8．(2016·北京高考)如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴。向右为x轴正方向。若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为(　　)


答案　A
解析　振子在N点时开始计时，其位移为正向最大，并按余弦规律变化，故A正确。
9.(2017·北京高考)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是(　　)

A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案　A
解析　t＝1 s时，振子处于正的最大位移处，振子的速度为零，加速度为负的最大值，A正确；t＝2 s时，振子在平衡位置且向x轴负方向运动，则振子的速度为负，加速度为零，B错误；t＝3 s时，振子处于负的最大位移处，振子的速度为零，加速度为正的最大值，C错误；t＝4 s时，振子在平衡位置且向x轴正方向运动，则振子的速度为正，加速度为零，D错误。
10．(2018·天津高考)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s 时位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
答案　AD
解析　若振幅为0.1 m，根据题意可知从t＝0 s到t＝1 s振子经历的时间为n＋T＝1 s(n＝0,1,2，3…)，解得T＝ s(n＝0,1,2,3…)，当n＝1时，T＝ s，把T＝ s代入得n＝，不符合题意，A正确，B错误；如果振幅为0.2 m，结合位移—时间关系图象，有1 s＝＋nT(n＝0,1,2,3…)　①，或者1 s＝T＋nT(n＝0,1,2，3…)　②，或者1 s＝＋nT(n＝0,1,2,3…)　③，对于①式，只有当n＝0时，T＝2 s，为整数；对于②式，T不为整数，对于③式，只有当n＝0时，T＝6 s，为整数，故C错误，D正确。
11．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x­t关系的是(　　)


答案　A
解析　摆长为l时单摆的周期T1＝2π ，振幅A1＝lα(α为摆角)，摆长为l时单摆的周期T2＝2π ＝π＝，振幅A2＝lβ(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mg(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2，cosβ＝1－2sin2，以及sin≈tan≈，sin≈tan≈、很小，解得β＝2α，故A2＝A1，故A正确。
12．(2019·北京师范大学天津附属中学高三期末)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图象如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时，下列说法正确的是(　　)

A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
答案　C
解析　由图读出：小球振动的固有周期为T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动的周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期与振动系统的固有周期接近，小球发生共振，振幅显著增大，C正确，D错误。
13.(2019·百师联盟七调)(多选)如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π ，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中(　　)

A．甲的振幅是乙的振幅的4倍
B．甲的振幅等于乙的振幅
C．甲的最大速度是乙的最大速度的
D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍
E．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍
答案　BCD
解析　将甲、乙两物块看成一个整体，受力分析可知，线未断开前，两根弹簧伸长的长度相同，故线断开后，甲、乙两物块离开平衡位置的最大距离相同，即振幅一定相同，故A错误，B正确；在线断开的瞬间，弹簧的弹性势能相同，到达平衡位置时，甲、乙的最大动能相同，由于甲的质量是乙的质量的4倍，由Ek＝mv2知，甲的最大速度一定是乙的最大速度的，故C正确；根据T＝2π 可知，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，根据f＝可知，甲的振动频率是乙的振动频率的，D正确，E错误。
14．(2019·江苏扬州中学高三月考)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，当a摆振动时，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来，达到稳定时b摆和c摆的周期大小关系是：Tb________Tc，三个摆中________摆的振幅最大，图乙是c摆稳定以后的振动图象，重力加速度为g，不计空气阻力，则a摆的摆长为________。

答案　＝　c　
解析　a摆摆动起来后，通过水平绳子对b、c两个摆施加周期性的驱动力，使b、c两摆做受迫振动，两摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，则两摆的周期相同；
受迫振动中，当驱动力频率等于固有频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于c摆的固有频率与a摆的频率相同，即和驱动力的频率相同，故c摆发生共振，振幅最大；
a摆的固有周期与c摆的相同，由图乙可知，振动周期T＝t0，再由单摆周期公式T＝2π ，可知T＝t0＝2π ，所以摆长L＝。
15．(2019·河北高考模拟)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，由单摆的周期公式得到T2＝l。只需测量出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图象，就可求出当地的重力加速度。某同学在实验中，用一个直径为d的实心钢球作为摆球，多次改变悬点到摆球顶部的距离l0，分别测出摆球做简谐运动的周期T后，作出的T2­l图象如图。

(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________。
A．将l0记为摆长l
B．将(l0＋d)计为摆长l
C．将钢球的(N－1)次全振动记为N次
D．将钢球的(N＋1)次全振动记为N次
(2)由图象求出重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87，结果保留三位有效数字)。
答案　(1)A　(2)9.67
解析　(1)设图线斜率为k，纵截距为b，则图象满足关系式T2＝kl＋b，整理得T2＝kl＋，与公式T2＝l比较可知，l＋为真实摆长，即图象中的l少记了一个量，即将l0记为摆长l，故选A。
(2)由单摆周期公式T＝2π 得：T2＝l
则T2­l图象的斜率：k＝＝
解得：g＝≈9.67 m/s2。