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2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第35讲 电场的能的性质
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第35讲 电场的能的性质
基础命题点 电势能、电势、电势差的理解
1．电势能
(1)静电力做功
①特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
②计算方法
a．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q要带正负号。
b．WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
②静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
③大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
2．电势
(1)电势
①定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
②定义式：φ＝。
③矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
④相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
(2)等势面
①定义：电场中电势相同的各点构成的面。
②四个特点
a．在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
b．等势面一定与电场线垂直。
c．电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
d．等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
3．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
4．电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
5．静电感应和静电平衡
(1)静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
(2)静电平衡
①定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部处处大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
②处于静电平衡状态的导体的特点
a．导体内部的场强处处为零。
b．导体是一个等势体，导体表面是等势面。
c．导体表面处的场强方向与导体表面垂直。
d．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体的外表面上。
e．在导体外表面，越尖锐的位置电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有电荷。
1．关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
3.(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
能力命题点一 电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)依据场源电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，据计算结果可判断电势能Ep的大小。
(4)能量守恒法：仅电场力做功时，电势能和动能相互转化，总和不变。当动能增大时，电势能减小；当动能减小时，电势能增大。
[例1] (2019·甘肃民乐一中、张掖二中一调联考)如图所示，真空中有两个等量异种电荷，OO′为两电荷连线的垂直平分线，P点在垂直平分线上，四边形ONPM为菱形，现在将一个负电荷q，自O点开始沿ONPM移动，则下列说法不正确的是( )
A．由O到N的过程中电荷电势能减少
B．由N到P的过程中电场力做负功
C．P点与O点电势相等
D．N点和M点电场强度相同
解析 等量异号点电荷电场线和等势面的分布如图所示，由图可知，N点电势最高，故负电荷q由O到N的过程中电荷电势能减小，故A正确；由N到P的过程中，电势降低，故负电荷q的电势能增大，电场力做负功，故B正确；两等量异号点电荷连线的中垂线均与电场线垂直，故中垂线为等势面，因此P点和O点电势相等，故C正确。根据叠加原理可知，N、M两点电场强度的大小相等，但方向不同，场强不同，故D错误。此题选择不正确的，故选D。
答案 D
1．两等量异号点电荷的电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图1中虚线所示。
(2)图1中两等量异号点电荷连线的中垂面为等势面，可延伸到无穷远处，若取无穷远处的电势为零，则中垂面为电势为零的等势面。
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异号点电荷的电势φ随x变化的图象如图2所示。
2．两个等量同号点电荷的电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中的各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图3中虚线所示。
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处的电势最低但不为零，将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两电荷连线所在直线上的各点电势φ随x变化的图象如图4所示。
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处的电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。若把中垂线作为y轴，连线中点作为坐标原点，则中垂线上各点电势φ随y变化的图象如图5所示。
[例2] (2020·武汉市部分学校高三质检)(多选)如图所示，为位于O点的一点电荷电场中的等势线，C是A、B连线的中点，D是O、A连线的中点，AO和BO垂直。在D点由静止释放一个带负电的试探电荷，仅在电场力作用下，试探电荷沿DA加速运动。下列说法正确的是( )
A．D点的场强比C点的场强大
B．D点的电势比C点的电势高
C．带正电的试探电荷从A点沿直线AB移动到B点，电势能先增大后减小
D．带负电的试探电荷从B点沿BCD移动到D点，电场力一直做负功
解析 由于在D处由静止释放的负电荷沿DA加速运动，故在O处的应是一个负点电荷。易知D点比C点离O点更近，场强更大，A正确。沿电场线方向电势降低，故C点电势高于D点电势，B错误。正试探电荷沿AB直线移动，电场力先做正功，再做负功，电势能先减小后增大，C错误。负试探电荷沿BCD由B点经C点移动到D点，离O点越来越近，电场力一直做负功，D正确。
答案 AD
某空间电场中的等势面情形如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向是电势降低的方向，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
能力命题点二 电场线、等势面及带电粒子在电场中的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。
2．几种重要电场的电场线和等势面
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异号点电荷的电场
连线的中垂线上的电势为零
等量同号正点电荷的电场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
3．解决运动轨迹问题应熟练掌握的知识及规律
(1)带电粒子所受的合力(往往仅为电场力)指向轨迹曲线的内侧。
(2)某点的速度方向为轨迹的切线方向。
(3)电场线(或等差等势面)密集的地方场强大。
(4)电场线垂直于等势面。
(5)顺着电场线方向电势降低最快。
(6)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。
(2019·甘肃武威六中二模)(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．带电质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大
C．带电质点通过P点时的动能比通过Q点时的大
D．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的大
解析 电荷所受电场力指向轨迹内侧。由于质点带正电，因此电场线指向右下方，沿电场线电势降低，故a等势面的电势最高，c的电势最低，A正确；根据Ep＝qφ，质点在P点的电势能大于在Q点的电势能，B正确；若质点从P向Q运动，则从P到Q的过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故质点在P点的动能小于在Q点的动能，C错误；根据电场线的疏密来确定电场强度的强弱，P点等差等势面密集，电场线密集，可知质点在P点时受到的电场力比通过Q点时大，那么质点在P点时的加速度比通过Q点时的大，D正确。
答案 ABD
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)某点的速度方向即为该点轨迹的切线方向。
(2)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析出电场方向或电荷的正负。
(3)结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势的变化、电势差等。
2．解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的思路
根据运动轨迹判断出所受电场力方向，由电场线画出等势面或由等势面画出电场线，然后进一步判断电荷的正负或电场强度、电势、电势能、动能等物理量的变化。
(1)
(2)
1．(2019·云南省曲靖市陆良县二模)如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画出)。虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a运动到b的运动轨迹。下列判断正确的是( )
A．带电粒子一定带正电
B．电场线MN的方向一定是由N指向M
C．带电粒子由a运动到b的过程中动能不一定增加
D．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
答案 D
解析 由于该带电粒子只受电场力的作用且做曲线运动，粒子所受电场力指向轨迹内侧，所以粒子受电场力的方向一定是由M指向N，但是由于粒子的电性不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A、B错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力做正功，电势能减小，动能增加，故C错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力做正功，电势能减小，故D正确。
2．(2019·四川南充二诊)在正点电荷Q形成的电场中，一检验电荷q的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上a、b、c三点在以Q为圆心的同心圆上，下列说法正确的是( )
A．检验电荷q可能为正电荷，也可能为负电荷
B．a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小
C．a、b、c三点中，a点的电势最高
D．a、b、c三点中，检验电荷q在a点的电势能最大
答案 B
解析 由运动轨迹可知，检验电荷q一定和Q带同种电荷，即带正电荷，A错误；检验电荷q在运动的过程中，电势能和动能之和不变，则当动能最小时，电势能最大，离正点电荷Q越近的位置电势越高，则a、b、c三点中，c点的电势最高，检验电荷q在c点的电势能最大，即a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小，B正确，C、D错误。故选B。
3．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
能力命题点三 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间的电势差相等。
①如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场中电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)当电场线为直线时，沿电场线方向建x轴，若已知各点电势φ随x变化的图象，则由E＝＝可知，图线各点的斜率恰好代表该点的电场强度。
(2019·安徽安庆高三二模)(多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点的过程中，电场力做功为8×10－5 J
解析 由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的降低相等，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；同理，ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示，由几何关系可知，ab垂直Oe，则ab为电场线，且方向由b指向a，电场强度为：E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：Epc＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；连接bd，由几何关系知bd∥Oe，即bd为等势面，φd＝φb＝8 V，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝qUad＝(4－8)×(－2×10－5) J＝8×10－5 J，故D正确。
答案 AD
如何确定匀强电场中的电场线
1.带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
2．(多选)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能
答案 CD
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC＞φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，D正确。
3．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，选项B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，选项D正确。
能力命题点四 电场中的功能关系
1．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcosα。
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
2．电场中的守恒关系和功能关系
(1)若只有电场力做功，物体的电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，物体的电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、系统内弹力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化。
(2019·内蒙古呼和浩特市二模)(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过最低点P到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到P的过程中，重力与库仑力的合力一直增大
B．从N到P的过程中，动能先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能先增加后减小
D．从P到Q的过程中，动能减少量等于电势能增加量和重力势能增加量之和
解析 a由N到P的过程中，重力竖直向下，而库仑力一直沿二者的连线方向，重力与库仑力的夹角一直在减小，且库仑力在增大，依据力的合成法则可知合力一直在增大，故A正确；在整个过程中合力先与运动方向的夹角为锐角，合力做正功，而后一过程中合力与运动的方向夹角为钝角，合力做负功，故从N到P的过程中，动能先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，小球a所受电场力与速度的夹角一直是钝角，故电场力一直做负功，电势能增大，故C错误；从P到Q的过程中，仅有电场力和重力做功，其电势能、重力势能、动能三者之和不变，故动能的减小量等于重力势能的增加量和电势能的增加量之和，故D正确。
答案 ABD
处理电场中能量问题的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－1 P20·T7)某电场的等势面如图所示，试画出电场线的大致分布。若单位正电荷q沿任一路径从A点移到B点，静电力所做的功是多少？说明理由。正电荷q从A点移到C点，跟从B点移到C点，静电力所做的功是否相等？说明理由。
[变式子题] 如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功是多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 (1)3.6×10－5 J (2)增加4.8×10－5 J
解析 (1)UCD＝0－(－30) V＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J。
(2)UDA＝－30 V－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
此过程电场力做负功，电荷的电势能增加
ΔEp＝－WDA＝4.8×10－5 J。
3.如图所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h，若小球通过B点时的速度为v，试求：
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
答案 (1)
(2)mv2＋mgR－mgh
解析 (1)由题分析知B、C两点电势相等，则小球由B到C的过程只有重力做功，由动能定理有：
mgR·sin30°＝mv－mv2
得：vC＝。
(2)由A到C，应用动能定理有：WAC＋mgh＝mv－0
得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
课时作业
1．关于静电场，下列结论普遍成立的是( )
A．电场强度为零的地方，电势也为零
B．电场强度的方向与等电势面处处垂直
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落的方向
答案 B
解析 电场强度为零的地方，电势不一定为零，因为电势的零点是人为选取的，故A错误；电场强度的方向与等电势面处处垂直，故B正确；电场强度的大小逐渐减小，说明电场线逐渐变疏，但电场线的方向不能确定，所以电势不一定降低，故C错误；沿电场强度的方向，电势一定降低，但电势降落的方向有若干，不一定是电场强度的方向，电场强度总是指向该点电势降落最快的方向，故D错误。
2．如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫做空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。因此乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为( )
A．0.6 m B．1.1 m
C．1.6 m D．2.1 m
答案 B
解析 安全距离至少为dmin＝ m＝1.1 m，故选B。
3．如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且ab＝bc＝cd，在a点和d点分别固定有等量的异种点电荷，则下列说法正确的是( )
A．b、c两点的电场强度大小相等，方向相反
B．b、c两点的电场强度大小不相等，但方向相同
C．同一负点电荷在b点的电势能比在c点的小
D．把正点电荷从b点沿直线移到c点，电场力对其先做正功后做负功
答案 C
解析 由等量异种点电荷的电场线分布可知，b、c两点的场强大小相等，方向相同，故A、B错误；由电场线从正电荷指向负电荷即由b指向c，可知b点的电势高于c点电势，根据负电荷在电势低处电势能大，即负电荷在b点的电势能更小，故C正确；由对C分析可知，电场线从b指向c，正点电荷从b沿直线运动到c，电场力一直做正功，故D错误。
4．(多选)如图所示，关于x轴对称的三条等势线为正点电荷形成的电场中的等差(Uab＝Ubc)等势线，等势线与x轴的交点分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A．b点的电场强度方向与x轴垂直
B．a、b、c三点中c点的电场强度最大
C．a、b、c三点中c点的电势最高
D．把一电子从a点移到b点，电子的电势能减小
答案 BCD
解析 由于三条等势线为正点电荷形成的电场中的等差等势线，所以正点电荷位于c点的右侧，a、b、c三点中c点离正点电荷最近，根据点电荷产生电场的电场强度E＝可知，c点的电场强度最大；根据等势面与电场线垂直，电场强度方向从c指向a，b点处的电场强度方向沿x轴水平向左，故A错误，B正确；电场强度方向与等势线电势降低最快的方向一致，a、b、c三点中c点的电势最高，C正确；把电子从a点移到b点电场力做正功，其电势能减小，故D正确。
5．(多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用。若小球的重力势能增加5 J，机械能增加1.5 J，电场力做功2 J，则( )
A．重力做功5 J B．电势能减少2 J
C．空气阻力做功0.5 J D．动能减少3.5 J
答案 BD
解析 小球的重力势能增加5 J，则小球克服重力做功5 J，故A错误；电场力对小球做功2 J，则小球的电势能减少2 J，故B正确；小球受到重力、电场力、空气阻力三个力的作用，小球的机械能增加1.5 J，则除重力以外的力做功为1.5 J，因电场力对小球做功2 J，则空气阻力做功为－0.5 J，即小球克服空气阻力做功0.5 J，故C错误；重力、电场力、空气阻力三力做功之和为－3.5 J，根据动能定理，小球的动能减少3.5 J，D正确。
6．(多选)如图所示的三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个等势面，电势分别为7 V、14 V、21 V，实线是一带电粒子(不计重力)在该区域内的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电荷，且粒子在a、b、c三点所受合力相同
B．粒子运动径迹一定是a→b→c
C．粒子在三点的动能大小为Ekb>Eka>Ekc
D．粒子在三点的电势能大小为Epb>Epa>Epc
答案 AD
解析 由等势面特点知，该电场为匀强电场，电场线方向向上，则粒子在a、b、c三点所受合力相同；而粒子受电场力方向指向高电势，与电场线的方向相反，故粒子带负电，故A正确；运动轨迹不能反映运动方向，粒子运动径迹可能是a→b→c，也可能是c→b→a，故B错误；根据推论：负电荷在电势高处电势能小，动能大，则知该粒子在b点电势能最大，动能最小，故应有Epb＞Epa＞Epc，Ekb＜Eka＜Ekc，故C错误，D正确。
7．如图，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，则电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，则电场力做负功
答案 B
解析 根据电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，可知N点和P点处于同一等势面上，直线d位于某一等势面内。根据匀强电场的特性，可知直线c位于另一等势面内。由于电子由M点运动到N点的过程中，电场力做负功，说明电场线方向从M指向N，故M点电势高于N点电势，所以B正确，A错误；由于M、Q处于同一等势面内，电子由M点运动到Q点的过程中，电场力不做功，C错误；电子由P点运动到Q点的过程中，电场力做正功，D错误。
8．(多选)空间内存在与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点均位于以O点为圆心、半径为10 cm的圆周上，并且∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，如图所示。现把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点时，电场力做功为－1×10－4 J；从B点移到C点时，电场力做功为3×10－4 J，则该匀强电场的场强( )
A．大小为200 V/m B．大小为200 V/m
C．方向垂直于OA向右 D．方向垂直于OC向下
答案 AC
解析 由题意知，UAB＝＝ V＝－10 V，UBC＝＝ V＝30 V，则UAC＝UAB＋UBC＝20 V，若设φC＝0，则φA＝20 V，φB＝30 V，延长AO与BC交于BC的三等分点D点，则D点的电势应为20 V，AD是电势为20 V的等势线，故场强方向垂直于OA向右，场强大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、C正确。
9．(2019·江苏苏州、无锡、常德、镇江四市联合一模)在任何静电场中均适用的公式是( )
A．W＝qU B．E＝k
C．W＝qEd D．E＝
答案 A
解析 W＝qU在任何静电场中均适用，故A正确；E＝k仅适用点电荷形成的电场中，故B错误；W＝qEd和E＝仅适用匀强电场中，故C、D错误。
10．(2019·北京高考)如图所示，a、b两点位于以负点电荷－Q(Q>0)为球心的球面上，c点在球面外，则( )
A．a点场强的大小比b点大
B．b点场强的大小比c点小
C．a点电势比b点高
D．b点电势比c点低
答案 D
解析 由点电荷的场强公式E＝k知，a、b两点与－Q距离相等，场强大小相等，A错误；由E＝k知，离－Q越近，场强越大，故b点场强大小比c点大(或由负点电荷形成的电场的电场线形状是“万箭穿心”，离点电荷越近电场线越密，场强越大，得出b点的场强比c点的大)，B错误；点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面，离－Q距离相等的两点的电势相等，C错误；沿电场线的方向电势降低，故离－Q越近，电势越低，D正确。
11．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误。如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确。由于φa<φb，将负电荷从低电势处移至高电势处的过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
12．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 如图所示，在两正电荷形成的电场中，一带正电的粒子在两电荷的连线上运动时，粒子有可能经过先加速再减速的过程，A正确；已知带电粒子只受电场力，粒子运动轨迹与电场线重合须具备初速度与电场线平行或为0、电场线为直线两个条件，B错误；带电粒子仅受电场力在电场中运动时，其动能与电势能的总量不变，EkM＝0，而EkN≥0，故EpM≥EpN，C正确；粒子运动轨迹的切线方向为速度方向，由于粒子运动轨迹不一定是直线，故粒子在N点所受电场力的方向与粒子轨迹在该点的切线方向不一定平行，D错误。
13．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。下列说法正确的有( )
A．Q1移入之前，C点的电势为
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功与电势能变化的关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义式知C点电势φ＝＝，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，B正确；将Q1移到B点固定后，再将Q2从无穷远处移到C点，两固定点电荷对Q2的库仑力做的功均为2W，则电场力对Q2做的总功为4W，C错误；因为无穷远处电势为0，则Q2移到C点后的电势能为－4W，D正确。
14．(2019·广西钦州三模)(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三条电场线，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点。下列判断正确的是( )
A．P点的场强比Q点的场强大
B．P点的电势比Q点的电势高
C．带电质点通过Q点时电势能较小
D．带电质点通过Q点时动能较大
答案 AB
解析 由电场线疏密程度可知，P点的场强比Q点的场强大，故A正确；负电荷做曲线运动，电场力指向曲线的内侧，故电场线向左，沿着电场线方向，电势降低，故P点的电势比Q点的电势高，故B正确；电场力的方向向右，若质点从P运动到Q，电场力做负功，电势能增大，动能减小，若质点从Q运动到P，则电场力做正功，电势能减小，动能增大，故P点的动能较大，势能较小，Q点的动能较小，电势能较大，故C、D错误。
15.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案 AB
解析 由油滴轨迹在竖直面内相对于过P点的竖直线对称可知油滴在水平方向所受合力为0，竖直方向上油滴受重力和电场力，结合曲线轨迹的特点可知电场力竖直向上且电场力大于重力，油滴受力及电场线方向如图所示，由沿电场线方向电势逐渐降低，得Q点的电势比P点的高，A项正确；油滴从Q点到P点合力做负功，根据动能定理得油滴在Q点的动能大于它在P点的动能，这一过程中电场力做负功，则油滴在Q点的电势能小于它在P点的电势能，故B项正确，C项错误；因为重力和电场力为恒力，所以油滴在Q、P两点的加速度相同，故D项错误。
16．(2017·天津高考)(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA
答案 BC
解析 若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于rAEB，FA>FB，aA>aB，φA>φB，EpArB，故φA>φB，EpA
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝。若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
第35讲 电场的能的性质
基础命题点 电势能、电势、电势差的理解
1．电势能
(1)静电力做功
①特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
②计算方法
a．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q要带正负号。
b．WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
②静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
③大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
2．电势
(1)电势
①定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
②定义式：φ＝。
③矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
④相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
(2)等势面
①定义：电场中电势相同的各点构成的面。
②四个特点
a．在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
b．等势面一定与电场线垂直。
c．电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
d．等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
3．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
4．电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
5．静电感应和静电平衡
(1)静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
(2)静电平衡
①定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部处处大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
②处于静电平衡状态的导体的特点
a．导体内部的场强处处为零。
b．导体是一个等势体，导体表面是等势面。
c．导体表面处的场强方向与导体表面垂直。
d．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体的外表面上。
e．在导体外表面，越尖锐的位置电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有电荷。
1．关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
3.(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
能力命题点一 电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)依据场源电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，据计算结果可判断电势能Ep的大小。
(4)能量守恒法：仅电场力做功时，电势能和动能相互转化，总和不变。当动能增大时，电势能减小；当动能减小时，电势能增大。
[例1] (2019·甘肃民乐一中、张掖二中一调联考)如图所示，真空中有两个等量异种电荷，OO′为两电荷连线的垂直平分线，P点在垂直平分线上，四边形ONPM为菱形，现在将一个负电荷q，自O点开始沿ONPM移动，则下列说法不正确的是( )
A．由O到N的过程中电荷电势能减少
B．由N到P的过程中电场力做负功
C．P点与O点电势相等
D．N点和M点电场强度相同
解析 等量异号点电荷电场线和等势面的分布如图所示，由图可知，N点电势最高，故负电荷q由O到N的过程中电荷电势能减小，故A正确；由N到P的过程中，电势降低，故负电荷q的电势能增大，电场力做负功，故B正确；两等量异号点电荷连线的中垂线均与电场线垂直，故中垂线为等势面，因此P点和O点电势相等，故C正确。根据叠加原理可知，N、M两点电场强度的大小相等，但方向不同，场强不同，故D错误。此题选择不正确的，故选D。
答案 D
1．两等量异号点电荷的电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图1中虚线所示。
(2)图1中两等量异号点电荷连线的中垂面为等势面，可延伸到无穷远处，若取无穷远处的电势为零，则中垂面为电势为零的等势面。
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异号点电荷的电势φ随x变化的图象如图2所示。
2．两个等量同号点电荷的电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中的各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图3中虚线所示。
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处的电势最低但不为零，将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两电荷连线所在直线上的各点电势φ随x变化的图象如图4所示。
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处的电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。若把中垂线作为y轴，连线中点作为坐标原点，则中垂线上各点电势φ随y变化的图象如图5所示。
[例2] (2020·武汉市部分学校高三质检)(多选)如图所示，为位于O点的一点电荷电场中的等势线，C是A、B连线的中点，D是O、A连线的中点，AO和BO垂直。在D点由静止释放一个带负电的试探电荷，仅在电场力作用下，试探电荷沿DA加速运动。下列说法正确的是( )
A．D点的场强比C点的场强大
B．D点的电势比C点的电势高
C．带正电的试探电荷从A点沿直线AB移动到B点，电势能先增大后减小
D．带负电的试探电荷从B点沿BCD移动到D点，电场力一直做负功
解析 由于在D处由静止释放的负电荷沿DA加速运动，故在O处的应是一个负点电荷。易知D点比C点离O点更近，场强更大，A正确。沿电场线方向电势降低，故C点电势高于D点电势，B错误。正试探电荷沿AB直线移动，电场力先做正功，再做负功，电势能先减小后增大，C错误。负试探电荷沿BCD由B点经C点移动到D点，离O点越来越近，电场力一直做负功，D正确。
答案 AD
某空间电场中的等势面情形如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向是电势降低的方向，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
能力命题点二 电场线、等势面及带电粒子在电场中的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。
2．几种重要电场的电场线和等势面
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异号点电荷的电场
连线的中垂线上的电势为零
等量同号正点电荷的电场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
3．解决运动轨迹问题应熟练掌握的知识及规律
(1)带电粒子所受的合力(往往仅为电场力)指向轨迹曲线的内侧。
(2)某点的速度方向为轨迹的切线方向。
(3)电场线(或等差等势面)密集的地方场强大。
(4)电场线垂直于等势面。
(5)顺着电场线方向电势降低最快。
(6)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。
(2019·甘肃武威六中二模)(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．带电质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大
C．带电质点通过P点时的动能比通过Q点时的大
D．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的大
解析 电荷所受电场力指向轨迹内侧。由于质点带正电，因此电场线指向右下方，沿电场线电势降低，故a等势面的电势最高，c的电势最低，A正确；根据Ep＝qφ，质点在P点的电势能大于在Q点的电势能，B正确；若质点从P向Q运动，则从P到Q的过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故质点在P点的动能小于在Q点的动能，C错误；根据电场线的疏密来确定电场强度的强弱，P点等差等势面密集，电场线密集，可知质点在P点时受到的电场力比通过Q点时大，那么质点在P点时的加速度比通过Q点时的大，D正确。
答案 ABD
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)某点的速度方向即为该点轨迹的切线方向。
(2)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析出电场方向或电荷的正负。
(3)结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势的变化、电势差等。
2．解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的思路
根据运动轨迹判断出所受电场力方向，由电场线画出等势面或由等势面画出电场线，然后进一步判断电荷的正负或电场强度、电势、电势能、动能等物理量的变化。
(1)
(2)
1．(2019·云南省曲靖市陆良县二模)如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画出)。虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a运动到b的运动轨迹。下列判断正确的是( )
A．带电粒子一定带正电
B．电场线MN的方向一定是由N指向M
C．带电粒子由a运动到b的过程中动能不一定增加
D．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
答案 D
解析 由于该带电粒子只受电场力的作用且做曲线运动，粒子所受电场力指向轨迹内侧，所以粒子受电场力的方向一定是由M指向N，但是由于粒子的电性不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A、B错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力做正功，电势能减小，动能增加，故C错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力做正功，电势能减小，故D正确。
2．(2019·四川南充二诊)在正点电荷Q形成的电场中，一检验电荷q的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上a、b、c三点在以Q为圆心的同心圆上，下列说法正确的是( )
A．检验电荷q可能为正电荷，也可能为负电荷
B．a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小
C．a、b、c三点中，a点的电势最高
D．a、b、c三点中，检验电荷q在a点的电势能最大
答案 B
解析 由运动轨迹可知，检验电荷q一定和Q带同种电荷，即带正电荷，A错误；检验电荷q在运动的过程中，电势能和动能之和不变，则当动能最小时，电势能最大，离正点电荷Q越近的位置电势越高，则a、b、c三点中，c点的电势最高，检验电荷q在c点的电势能最大，即a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小，B正确，C、D错误。故选B。
3．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
能力命题点三 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间的电势差相等。
①如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场中电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)当电场线为直线时，沿电场线方向建x轴，若已知各点电势φ随x变化的图象，则由E＝＝可知，图线各点的斜率恰好代表该点的电场强度。
(2019·安徽安庆高三二模)(多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点的过程中，电场力做功为8×10－5 J
解析 由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的降低相等，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；同理，ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示，由几何关系可知，ab垂直Oe，则ab为电场线，且方向由b指向a，电场强度为：E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：Epc＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；连接bd，由几何关系知bd∥Oe，即bd为等势面，φd＝φb＝8 V，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝qUad＝(4－8)×(－2×10－5) J＝8×10－5 J，故D正确。
答案 AD
如何确定匀强电场中的电场线
1.带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
2．(多选)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能
答案 CD
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC＞φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，D正确。
3．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，选项B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，选项D正确。
能力命题点四 电场中的功能关系
1．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcosα。
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
2．电场中的守恒关系和功能关系
(1)若只有电场力做功，物体的电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，物体的电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、系统内弹力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化。
(2019·内蒙古呼和浩特市二模)(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过最低点P到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到P的过程中，重力与库仑力的合力一直增大
B．从N到P的过程中，动能先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能先增加后减小
D．从P到Q的过程中，动能减少量等于电势能增加量和重力势能增加量之和
解析 a由N到P的过程中，重力竖直向下，而库仑力一直沿二者的连线方向，重力与库仑力的夹角一直在减小，且库仑力在增大，依据力的合成法则可知合力一直在增大，故A正确；在整个过程中合力先与运动方向的夹角为锐角，合力做正功，而后一过程中合力与运动的方向夹角为钝角，合力做负功，故从N到P的过程中，动能先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，小球a所受电场力与速度的夹角一直是钝角，故电场力一直做负功，电势能增大，故C错误；从P到Q的过程中，仅有电场力和重力做功，其电势能、重力势能、动能三者之和不变，故动能的减小量等于重力势能的增加量和电势能的增加量之和，故D正确。
答案 ABD
处理电场中能量问题的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－1 P20·T7)某电场的等势面如图所示，试画出电场线的大致分布。若单位正电荷q沿任一路径从A点移到B点，静电力所做的功是多少？说明理由。正电荷q从A点移到C点，跟从B点移到C点，静电力所做的功是否相等？说明理由。
[变式子题] 如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功是多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 (1)3.6×10－5 J (2)增加4.8×10－5 J
解析 (1)UCD＝0－(－30) V＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J。
(2)UDA＝－30 V－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
此过程电场力做负功，电荷的电势能增加
ΔEp＝－WDA＝4.8×10－5 J。
3.如图所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h，若小球通过B点时的速度为v，试求：
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
答案 (1)
(2)mv2＋mgR－mgh
解析 (1)由题分析知B、C两点电势相等，则小球由B到C的过程只有重力做功，由动能定理有：
mgR·sin30°＝mv－mv2
得：vC＝。
(2)由A到C，应用动能定理有：WAC＋mgh＝mv－0
得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
课时作业
1．关于静电场，下列结论普遍成立的是( )
A．电场强度为零的地方，电势也为零
B．电场强度的方向与等电势面处处垂直
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落的方向
答案 B
解析 电场强度为零的地方，电势不一定为零，因为电势的零点是人为选取的，故A错误；电场强度的方向与等电势面处处垂直，故B正确；电场强度的大小逐渐减小，说明电场线逐渐变疏，但电场线的方向不能确定，所以电势不一定降低，故C错误；沿电场强度的方向，电势一定降低，但电势降落的方向有若干，不一定是电场强度的方向，电场强度总是指向该点电势降落最快的方向，故D错误。
2．如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫做空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。因此乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为( )
A．0.6 m B．1.1 m
C．1.6 m D．2.1 m
答案 B
解析 安全距离至少为dmin＝ m＝1.1 m，故选B。
3．如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且ab＝bc＝cd，在a点和d点分别固定有等量的异种点电荷，则下列说法正确的是( )
A．b、c两点的电场强度大小相等，方向相反
B．b、c两点的电场强度大小不相等，但方向相同
C．同一负点电荷在b点的电势能比在c点的小
D．把正点电荷从b点沿直线移到c点，电场力对其先做正功后做负功
答案 C
解析 由等量异种点电荷的电场线分布可知，b、c两点的场强大小相等，方向相同，故A、B错误；由电场线从正电荷指向负电荷即由b指向c，可知b点的电势高于c点电势，根据负电荷在电势低处电势能大，即负电荷在b点的电势能更小，故C正确；由对C分析可知，电场线从b指向c，正点电荷从b沿直线运动到c，电场力一直做正功，故D错误。
4．(多选)如图所示，关于x轴对称的三条等势线为正点电荷形成的电场中的等差(Uab＝Ubc)等势线，等势线与x轴的交点分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A．b点的电场强度方向与x轴垂直
B．a、b、c三点中c点的电场强度最大
C．a、b、c三点中c点的电势最高
D．把一电子从a点移到b点，电子的电势能减小
答案 BCD
解析 由于三条等势线为正点电荷形成的电场中的等差等势线，所以正点电荷位于c点的右侧，a、b、c三点中c点离正点电荷最近，根据点电荷产生电场的电场强度E＝可知，c点的电场强度最大；根据等势面与电场线垂直，电场强度方向从c指向a，b点处的电场强度方向沿x轴水平向左，故A错误，B正确；电场强度方向与等势线电势降低最快的方向一致，a、b、c三点中c点的电势最高，C正确；把电子从a点移到b点电场力做正功，其电势能减小，故D正确。
5．(多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用。若小球的重力势能增加5 J，机械能增加1.5 J，电场力做功2 J，则( )
A．重力做功5 J B．电势能减少2 J
C．空气阻力做功0.5 J D．动能减少3.5 J
答案 BD
解析 小球的重力势能增加5 J，则小球克服重力做功5 J，故A错误；电场力对小球做功2 J，则小球的电势能减少2 J，故B正确；小球受到重力、电场力、空气阻力三个力的作用，小球的机械能增加1.5 J，则除重力以外的力做功为1.5 J，因电场力对小球做功2 J，则空气阻力做功为－0.5 J，即小球克服空气阻力做功0.5 J，故C错误；重力、电场力、空气阻力三力做功之和为－3.5 J，根据动能定理，小球的动能减少3.5 J，D正确。
6．(多选)如图所示的三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个等势面，电势分别为7 V、14 V、21 V，实线是一带电粒子(不计重力)在该区域内的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电荷，且粒子在a、b、c三点所受合力相同
B．粒子运动径迹一定是a→b→c
C．粒子在三点的动能大小为Ekb>Eka>Ekc
D．粒子在三点的电势能大小为Epb>Epa>Epc
答案 AD
解析 由等势面特点知，该电场为匀强电场，电场线方向向上，则粒子在a、b、c三点所受合力相同；而粒子受电场力方向指向高电势，与电场线的方向相反，故粒子带负电，故A正确；运动轨迹不能反映运动方向，粒子运动径迹可能是a→b→c，也可能是c→b→a，故B错误；根据推论：负电荷在电势高处电势能小，动能大，则知该粒子在b点电势能最大，动能最小，故应有Epb＞Epa＞Epc，Ekb＜Eka＜Ekc，故C错误，D正确。
7．如图，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，则电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，则电场力做负功
答案 B
解析 根据电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，可知N点和P点处于同一等势面上，直线d位于某一等势面内。根据匀强电场的特性，可知直线c位于另一等势面内。由于电子由M点运动到N点的过程中，电场力做负功，说明电场线方向从M指向N，故M点电势高于N点电势，所以B正确，A错误；由于M、Q处于同一等势面内，电子由M点运动到Q点的过程中，电场力不做功，C错误；电子由P点运动到Q点的过程中，电场力做正功，D错误。
8．(多选)空间内存在与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点均位于以O点为圆心、半径为10 cm的圆周上，并且∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，如图所示。现把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点时，电场力做功为－1×10－4 J；从B点移到C点时，电场力做功为3×10－4 J，则该匀强电场的场强( )
A．大小为200 V/m B．大小为200 V/m
C．方向垂直于OA向右 D．方向垂直于OC向下
答案 AC
解析 由题意知，UAB＝＝ V＝－10 V，UBC＝＝ V＝30 V，则UAC＝UAB＋UBC＝20 V，若设φC＝0，则φA＝20 V，φB＝30 V，延长AO与BC交于BC的三等分点D点，则D点的电势应为20 V，AD是电势为20 V的等势线，故场强方向垂直于OA向右，场强大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、C正确。
9．(2019·江苏苏州、无锡、常德、镇江四市联合一模)在任何静电场中均适用的公式是( )
A．W＝qU B．E＝k
C．W＝qEd D．E＝
答案 A
解析 W＝qU在任何静电场中均适用，故A正确；E＝k仅适用点电荷形成的电场中，故B错误；W＝qEd和E＝仅适用匀强电场中，故C、D错误。
10．(2019·北京高考)如图所示，a、b两点位于以负点电荷－Q(Q>0)为球心的球面上，c点在球面外，则( )
A．a点场强的大小比b点大
B．b点场强的大小比c点小
C．a点电势比b点高
D．b点电势比c点低
答案 D
解析 由点电荷的场强公式E＝k知，a、b两点与－Q距离相等，场强大小相等，A错误；由E＝k知，离－Q越近，场强越大，故b点场强大小比c点大(或由负点电荷形成的电场的电场线形状是“万箭穿心”，离点电荷越近电场线越密，场强越大，得出b点的场强比c点的大)，B错误；点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面，离－Q距离相等的两点的电势相等，C错误；沿电场线的方向电势降低，故离－Q越近，电势越低，D正确。
11．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误。如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确。由于φa<φb，将负电荷从低电势处移至高电势处的过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
12．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 如图所示，在两正电荷形成的电场中，一带正电的粒子在两电荷的连线上运动时，粒子有可能经过先加速再减速的过程，A正确；已知带电粒子只受电场力，粒子运动轨迹与电场线重合须具备初速度与电场线平行或为0、电场线为直线两个条件，B错误；带电粒子仅受电场力在电场中运动时，其动能与电势能的总量不变，EkM＝0，而EkN≥0，故EpM≥EpN，C正确；粒子运动轨迹的切线方向为速度方向，由于粒子运动轨迹不一定是直线，故粒子在N点所受电场力的方向与粒子轨迹在该点的切线方向不一定平行，D错误。
13．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。下列说法正确的有( )
A．Q1移入之前，C点的电势为
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功与电势能变化的关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义式知C点电势φ＝＝，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，B正确；将Q1移到B点固定后，再将Q2从无穷远处移到C点，两固定点电荷对Q2的库仑力做的功均为2W，则电场力对Q2做的总功为4W，C错误；因为无穷远处电势为0，则Q2移到C点后的电势能为－4W，D正确。
14．(2019·广西钦州三模)(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三条电场线，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点。下列判断正确的是( )
A．P点的场强比Q点的场强大
B．P点的电势比Q点的电势高
C．带电质点通过Q点时电势能较小
D．带电质点通过Q点时动能较大
答案 AB
解析 由电场线疏密程度可知，P点的场强比Q点的场强大，故A正确；负电荷做曲线运动，电场力指向曲线的内侧，故电场线向左，沿着电场线方向，电势降低，故P点的电势比Q点的电势高，故B正确；电场力的方向向右，若质点从P运动到Q，电场力做负功，电势能增大，动能减小，若质点从Q运动到P，则电场力做正功，电势能减小，动能增大，故P点的动能较大，势能较小，Q点的动能较小，电势能较大，故C、D错误。
15.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案 AB
解析 由油滴轨迹在竖直面内相对于过P点的竖直线对称可知油滴在水平方向所受合力为0，竖直方向上油滴受重力和电场力，结合曲线轨迹的特点可知电场力竖直向上且电场力大于重力，油滴受力及电场线方向如图所示，由沿电场线方向电势逐渐降低，得Q点的电势比P点的高，A项正确；油滴从Q点到P点合力做负功，根据动能定理得油滴在Q点的动能大于它在P点的动能，这一过程中电场力做负功，则油滴在Q点的电势能小于它在P点的电势能，故B项正确，C项错误；因为重力和电场力为恒力，所以油滴在Q、P两点的加速度相同，故D项错误。
16．(2017·天津高考)(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA
答案 BC
解析 若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于rA
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝。若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
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